а)х⁴+10х²-4х+14>0

Пусть a=х⁴ ; b=10х²-4х+14

Доказать, что a+b>0

a=x⁴≥0 - очевидно, т.к. четная степень любого числа неотрицательна

b=10х²-4х+14

D= b²-4ac= 16-4*10*14<0

Ветви направлены вверх, т.к. 10>0, корней нету, значит выражение b=10х²-4х+14 > 0 верно всегда

Отсюда, складывая неравенства a≥0 и b>0 получаем a+b>0, т.е. х⁴+10х²-4х+14>0

 

 

   б)х²+4>√(x²+8x²+15)

неравенство эквивалентно системе:

(х²+4)²>x²+8x²+15    ==> x⁴+8x²+16>9x²+15  ==> x⁴-x²+1>0

х²+4≥0                      ==>  х²≥-4 - верно    

x²+8x²+15≥0             ==>  9x²+15≥0                 ==> x²≥-15/9 верно

 

рассмотрим x⁴-x²+1>0

Замена x²=t≥0

t²-t+1>0

D=1-4*1<0

Ветви направлены вверх, т.к. 1>0, корней нету, значит выражение t²-t+1>0 верно всегда

Отсюда, переходя к x, получаем: x⁴-x²+1>0 верно всегда

Все три неравенства системы выполнены всегда. Значит неравенство справедливо.

 

 

 

2)Решите уравнение х⁴-4х³-2х²+12х+9=0

начнём с искусственного приема

х⁴-4х³-2х²+12х+9= x⁴- 3x³ - x³ + 3x²- 5x² + 15x - 3x + 9 = 0

Группируем: x³(x-3) - x²(x-3) - 5x(x-3) - 3(x-3) = 0

(x-3)(x³-x²-5x-3)=0

(x-3)(x³-3x²+2x²-6x+x-3)=0

(x-3)(   x²(x-3)+2x(x-3) + (x-3)        )=0

(x-3)(x-3)(x²+2x+1)=0

(x-3)²(x+1)²=0

x=-3

x=1

Ответ: -3; 1

 

Или лучше по схеме Горнера!!:

х⁴-4х³-2х²+12х+9=0

Целыми корнями могут являться только делители свободного члена, т.е. 1, -1, 3, -3, 9, -9

подставляем x=1: 1-4-2+12+9≠0 не подходит

подставляем x=-1: 1+4-2-12+9=0 подходит

x=-1 - корень.

      1   -4   -2    12   9

-1   1   -5    3     9    0

Тогда (x+1)(x³-5x²+3x+9)=0

(x³-5x²+3x+9)=0

Продолжаем аналогично: Целыми корнями могут являться только делители свободного члена, т.е. 1, -1, 3, -3

подставляем x=1: 1-5+3+9≠0 не подходит

подставляем x=-1: -1-5-3+9=0 подходит

      1   -5    3     9 

-1   1   -6    9     0

(x+1)²(x²-6x+9)=0

(x+1)²(x-3)²=0

дальше аналогично!

 

 

3) К трехзначному числу приписали цифру 2 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 4113. Найдите это трехзначное число.

 

Пусть имеется трёхзначное число a:

Припишем к нему 2 слева: 2000 + a

Припишем 2 справа         : 10a+2

Найдём разность: (10a+2) - (2000+a) = 9a-1998 = 4113

9a = 4113+1998 = 6111

a=679

Ответ: 679