Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Подготовка к ЕГЭ по математике. Задания В8. Стереометрия.

создана: 27.06.2017 в 12:37
................................................

 ( +2902 ) 

:

В Задании B8 предлагается решить простейшие задачи  по стереометрии на вычисление площади поверхности или объема многогранника или тела  вращения.

Задания ЕГЭ по математике B8 с решениями.  

Вычислить объем многогранника.

1. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке

(все двугранные углы многогранника прямые).

    Решение: V1-V2 = 3*2*1 - 1*2*1 = 4

 

 

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту.

Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18.

Решение.

Vцилиндра = Sоснования·h;   Vконуса = Sоснования·h / 3,  

т.е. объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса.    

Vцилиндра = 18·3 = 54.

 ( +2902 ) 
15.10.2012 19:22
Комментировать

3. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см.

На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого  сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

Решение. Пусть сторона основания равна a (в основании правильный треугольник - по условию),

тогда Sосн = a2 √3 /4, а объем воды V=Sосн ·h= Sосн·16= 4a2√3

Если сторону основания увеличить в 4 раза, то площадь основания второй призмы станет  

S= (4a)2 ·√¯3 / 4= 16a2 √¯3 / 4= 4a2 √¯3.  

Разделим объем воды на эту площадь и получим высоту уровня воды:  

h1=V / S= 1.     Ответ: 1.


4. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 7. Боковые ребра равны 2/π.  Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.  Диагональ квадрата вычислим по теореме Пифагоа.

d2= 72 + 72 = 2·72 ,    d=7√2,    диагональ квадрата - диаметр описанной окружности,

т.е. диаметр цилиндра.  r =d/2= 7√2/2. 

Vцил = S осн*H = пr2·O1O2 = п*49/2· 2/п = 49.       Ответ: 49.

 ( +2902 ) 
15.10.2012 19:25
Комментировать

5. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1900 см3 воды и погрузили в воду деталь.  При этот уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 22 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в см3.

Решение.

Обозначим первоначальный объём воды V1, а объём воды, полученный после погружения детали -  V2, Пусть площадь основания призмы равна S см2h1=20 см и h2 = 22 cм - по условию.

Вычислим площадь основания S:   V = S·h1,  подставив значения V и h1, получим уравнение

1900 = S·20,    S = 1900 / 20 = 95 (см2).  

Объём детали равен разности 

V2 - V1 = S·h2 - S·h1 = S (h2 - h1) = 95· (22 - 20) = 95·2 = 190 (см3)

Ответ: 190. 


 

6. Объем конуса равен 64. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение:  объем большого конуса V1 равен  πR2H/3 = 64    

В маленьком конусе: r=R/2,   h=H/2,

т.о. V малого конуса = п(R/2)2·(H/2) /3 = пR2/4 ·H/2/3 = пR2H/3 /8= 64/8 =  8

Ответ: 8

 ( +2902 ) 
15.10.2012 19:34
Комментировать

7. Площадь поверхности шара уменьшили в 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного шара  r.

Поверхность шара  S1 = 4пR2 ,    стала  S2 = 4пR2/9 = 4п (R/3)2 = 4пr2   

Видим, что r=R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза. Можно сразу сказать, что объем уменьшится в 33 раза, т.е. в 27 раз.   Подробнее:

Объем V1= 4/3 ПR3,   а объем V2= 4/3 пr3 = 4/3 п(R/3)3 =4/3 пR3 /27  =  V1 / 27.

Уменьшился в 27 раз.   Ответ: 27.


8. Три одинаковых металлических цилиндра высотой 3см радиусом основания 2см переплавили в шар. найдите диаметр этого шара (в см.).

Решение.  3*пR2H = 3п*4*3 = 36п

V шара = 4/3 *пR3 = 36п    

R3 = 36/4*3;     R3 = 27;   R=3;   D=2*3=6.

Ответ: 6.

 ( +2902 ) 
15.10.2012 19:48
Комментировать

 

 

9. Диагональным сечением прямоугольного параллепипеда ,вписанного в шар , является квадрат площадью S.   Найдите объем шара. 

Сечение - квадрат. Его диагональ AB= d - диаметр описанного шара.  R - радиус.

AO=OB;     d2 =OB2 +AO2 = 2OB2 =2S ,

либо сразу  S = d2 /2  (площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, для квадрата и ромба угол= 90°, sin90°=1).

Отсюда      d= √(2S)

V шара = 4/3 пR3 = 4/3 п(d/2)3 = 4/3*пd3/8 = пd3/6 =п√(2S)3/6 = 2S√(2S)  п/6 = S√(2S) п/3.


10.  Обьем куба составляет 64 см3 . Ребро куба увеличили в пять раз. Во сколько раз увеличится поверхность шара, вписанного в куб.

Решение.

Vкуба= 64 = 43     ребро куба = 4   радиус шара = 2

Если ребро куба увеличить в 5 раз, то и радиус увеличится в 5 раз.

Поверхность пропорциональна квадрату радиуса: S=4пR2

Значит, при увеличении радиуса в 5 раз, поверхность увеличится в 52 раз, т.е. в 25 раз.

Для тех, кто сомневается:

S1 = 4п*22 = 16п

S2 = 4п*(2*5)2 = 400п                400п : 16п = 25


11. Правильная 4-х угольная призма описана около цилиндра, высота которого равна 2. Найти радиус цилиндра, если известно, что площадь боковой поверхности призмы равна 12.

11. Правильная призма — значит,  в основании квадрат. Высоты призмы и цилиндра равны: H=2. Пусть сторона основания призмы равна х, тогда диаметр цилиндра d=x.

Sбок = Pосн*Р = 4х*2= 8х   -->    8x=12   -->  x=1,5   -->   d=1,5  --> R=0,75


№ 12. Боковые ребра правильной 4-х угольной пирамиды равны 5, сторона основания равна 8. Найти площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: В основании — квадрат со стороной 8.   Sосн = 8*8=64.

4 боковые грани - равнобедренные 3-ки с основаниями 8, боковыми сторонами, равными 5.

Нарисуй этот 3-к и опусти высоту h на основание.

S бок= 4S 3-ка = 4*8*h/2=16h.

h - высота в 3-ке. По теореме Пифагора h2=52-42 =9  -->   h=3    S бок=16*3=48

S пов= S осн + S бок = 64+48=112.


 ( +2902 ) 
15.10.2012 20:20
Комментировать

13. Объём первой пирамиды равен 24. У второй пирамиды площадь основания в 6 раз больше, чем площадь основания первой пирамиды, а высота второй пирамиды в три раза меньше, чем первой. Найти объём второй пирамиды.

Решение.

V1 = Sосн*H = 24.       V2 = 6Sосн *H/3 = Sосн*H *6/3 =  24*2 = 48

Ответ: 48.


14. Объём первого конуса равен 18. У второго конуса высота в 4 раза меньше, а радиус основания в два раза больше, чем у первого. Найти объём второго конуса.

V1= пR2H = 18         V2= п(2R)2*H/4 = п*4R2*H/4 = пR2H = 18

Ответ: 18.


15.

  

Стороны основания правильной 6-ти угольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найти площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение.

Боковая поверхность - 6 равных равнобедренных треугольников. Основание каждого равно 10. Найдем высоту боковой грани.

h2 = 132 - 52 =144   -->  h=12          S3-ка = 10*12/ 2 = 60    S бок =6*60=360

Ответ: 360.


Хочу написать ответ