Определение множества значений функции (min, max функции, наибольшее, наименьшее значения, экстремумы)
- Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x0).
- Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x0).
- Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Теорема. Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f ′(x0) =0.
- Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема (не имеет производной), называют критическими точками.
Точки, в которых производная равна 0, называют стационарными.
Геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в экстремальной точке параллельна оси абсцисс (OX), и поэтому ее угловой коэффициент равен 0 ( k = tg α = 0).
Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b), x0 С (a;b), и f ′(x0) =0. Тогда:
1) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x0 – точка максимума.
2) Если при переходе через стационарную точку x0 функции f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс» , то x0 – точка минимума.
ПРАВИЛО нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x)
на отрезке [a;b].
1. Найти призводную функции и приравнять нулю. Найти критические точки.
2. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b).
3. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [a;b].
4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
ПРАВИЛО нахождения минимума и максимума функции f(x)
на интервале (a;b).
1. Найти критические точки f(x) (в которых f ′(x)=0 или f(x) не существует) .
2. Нанести их на числовую прямую (только те, которые принадлежат (a,b) ).
f ′(x) + – +
a_________ x0____________x1______________ b
f (x) / \ /
3. Расставить знаки производной в строке f ′(x) , расставить стрелки в строке f(x).
4. x max = x0, x min = x1.
5. y max = y(x0), y min = y(x1).