Уравнение вида anxn + an-1xn-1 +... + a1x +a0 = 0
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны,
т.е. если аn-k = ak при k=0, 1, 2, ..., n.
Решить уравнение: x4 -7x3 -6x2 -7x +1 = 0
Это возвратное уравнение, т.к. коэффициенты, стоящие на симметричных местах, равны. Группировкой приведем уравнение к следующему виду:
х4+1 -7х3-7х -6х2 = 0
Делим на х2, причем х≠0.
(х2+ 1/х2) - 7(х+1/х) -6 = 0
замена х + 1/х = t, тогда
(х+1/х)2 = t2 ; x2 +2x/x + 1/x2 = t2 ; x2+ 1/x2 = t2 -2.
Получили t2 -2 -7t -6 = 0
t2 - 7t -8 = 0
Корни t=-1, t=8.
1) х + 1/х = -1; х2 +х +1 = 0, D<0 --> решений нет.
2) x + 1/x = 8; х2 - 8х +1 = 0, D=60, x= (8± 2√15)/2
Ответ: x = 4±√15
