Фунуция 6х-у²=0 описывает параболу с ветвями, направленными вправо, т.е. как бы лежащую на боку. Функция 6х+у-12=0 описывают прямую.

Найдём точки пересечения параболы и прямой:

6х-у²=6х+у-12

у²+у-12=0

у₁=(-1-√(1²-4·1·(-12)))/2=(-1-√49)/2=-4

у₂=(-1+√(1²-4·1·(-12)))/2=(-1+√49)/2=3

Площадь искомой  фигуры будет равна модулю разности площадей фигуры, ограниченной параболой, и фигуры, ограниченной прямой. Площади фигур находятся с помощью интеграла.

Так как парабола "повёрнута", то для простоты и удобства расчёта интегралы лучше брать по dy. а не по dx, как чаще всего делается. Тогда пределы интегрирования будут тоже находится на оси OY, и эти пределы найдены выше как ординаты точек пересечения графиков.

Выразим функции через х:

х=у²/6

х=(12-у)/6=2-у/6

Находим площадь фигуры:

S=|∫_-4³(y²/6)dy-∫_-4³(2-y/6)dy|=|(y³/18-2y+y²/12)|_-4³|=

|(3³-(-4)³)/18-2(3-(-4))+(3²-(-4)²)/12|=

|91/18-14-7/12|= 343/36 = 9 19/36