Представляем несколько задач по теме  "Проценты".

Задача 1. Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 рубля?

Решение. Пусть а – цена изготовителя. Тогда оптовая цена 1 альбома 1,3а, т.к. она больше цены изготовителя на 30%. Находим розничную цену альбома: она на 20% выше оптовой. Тогда в магазине 1 альбом стоит:  1,3а·1,2а = 1,56а руб. При распродаже цена снизилась на 10%. т.е. на 0,156а руб. Получаем цену альбома после снижения 1,404а руб., а это составляет 70,2 рубля.

Решая уравнение 1,404а = 70,2, находим, что цена изготовителя а равна 50 руб. Покупатель заплатил на 20,2 руб больше по сравнению с ценой изготовителя.  

Ответ. На 20,2 рубля.

Задача 2. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируется, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3-х лет.   Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение. В конце первого года сумма составляет 55000 руб. Теперь начисляем 10 % от этой суммы и получаем сумму в конце второго года 60500 руб. Чтобы узнать весь доход за три года находим 110% от 60500, а это число равно 66550. Итак, по истечении всего срока доход составляет 16550 рублей.

Ответ. 16550 руб.

Задача 3. Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

Решение. Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20% он стал весить 0,8х кг, а после увеличения веса на 30% стал весить 0,8х*1,3 кг и т.д., в итоге Женя весил 0,8х*1,3*0,8*1,1, или 0,9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел. 

Ответ. Нет.

Задача 4. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Решение. Масса “сухого вещества” арбуза составляла 100-99=1 (%) . Это 20*0,01=0,2 (кг).  

Т.е. те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза.

Найдем эту новую массу:   0,2 : 0,02 = 10 (кг)

Ответ. 10 кг.  

Задача 5. Производительность труда повысили на 25%. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?

Решение. Пусть раньше производили х деталей за смену, а стали производить х + 0,25х = 1,25х = 5/4х деталей за смену. С новой производительностью труда можно произвести прежнее число деталей за 4/5 смены, т.е. время выполнения задания уменьшится на 1/5, или на 20% .

Ответ. На 20%.

Задача 6. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение. До сплавления в двух кусках было 300*20 / 100 + 200*40/100 = 140 г олова. После сплавления кусок массой 200+300=500 г будет содержать 140*100/500 (%) = 28(%) олова.          

Ответ. 28%.

Задача 7. В 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе.

Решение.  В данной задаче объем раствора увеличился в 3 раза, содержание кислоты не изменилось, поэтому процентная концентрация кислоты уменьшилась в 3 раза: 60:3=20(%)         

Ответ. 20%

Задача 8. Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 %-го раствора кислоты?

Решение. Пусть надо взять х л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1*4=0,4, или 0,05х+0,25*(4-х) л. Составим уравнение: 0,05х+0,25(4-х)=0,4. Это уравнение имеет единственный корень х=3. Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л второго.          

Ответ. 3 л первого и 1 л второго.

Задача 9. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2 : 3, в другом - в отношении 3 : 7. Сколько кг нужно взять от каждого сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5 : 11 ?

Решение. Пусть нужно взять х кг первого и у кг второго сплава. В х кг первого сплава серебра будет (3/5)∙х кг, а в у кг второго сплава серебра будет (7/10)∙у кг. Масса нового сплава (х+у) кг, и в нем серебра будет (11/16)∙(х+у) кг.

Составим уравнение: 3х /5 + 7у /10 = (11/16) ∙(х+у) --> 6х + 7у = 55(х+у) / 8 --> 48х + 56у = 55х + 55у --> y = 7x. Т.е. первого сплава надо взять одну часть, а второго 7 частей.

Ответ. Первого сплава надо взять 1 кг, а второго 7 кг.  

Задача 10. Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение. Пусть процентное содержание соли в первом и втором растворах p% и q% соответственно, тогда по условиям задачи можно составить два уравнения:

100· p/100 + 200· q/100=50*(100+200)/100

300 p/100 + 200 q/100=42*(300+200)/100.

Упростив эти уравнения и решив систему, получим p=30 и q=60. Следовательно, концентрация второго раствора равна 60%.       

Ответ. 60%