Рациональные числа имеют вид m/n, где m  - целое, n - натуральное.

Пусть √5=m/n - рациональное, причем m/n - несократимая дробь (сократимую всегда можно сделать несократимой, сократив на общий делитель).  

Тогда  m²/n² = 5² 

m²=5n²  -->   m² делится   на 5, но тогда и m делится на 5.

Представим m=5k,  тогда (5k)²=5n²             25k²=5n²

5k²=n²   -->   n² делится на 5  -->   n делится на 5.

Получили, что m и n делятся на 5, т.е. имеют общий делитель - противоречие.

Следовательно, исходное утверждение, что √5 - число рациональное -ложно.