y' = 2e^2x - 6e^x = 2e^x (e^x - 3) = 0

e^x - 3 = 0                или            2e^x = 0 (невозможно, т.к. e^x > 0 )

e^x = 3

x = ln 3

Докажем, что  x = ln 3 € [1;2], т.е. 1 ≤ ln3 ≤ 2;   e ≤ 3 ≤ e²

2 < e < 3 (значит e ≤ 3)

4 < e² < 9 (значит 3 ≤ e²)

__________-___________ ln 3 _______________+_____________->x

   убывает                   Min             возрастает

Тогда y (ln3) = e^2ln3 - 6e^ln3 - 1 = 3² - 6*3 - 1 = 9-18-1 = -10

(вместо проверки концов мы рассматриваем знаки производной, которая говорит, что функция убывает на интервале (-∞; ln3] и возрастает на интервале [ln3; +∞))