БОльшая диагональ основания (обозначим её с) образует со сторонами равнобедренный треугольник. Тогда по теореме косинусов c² = a²+a²-2aa·cos(α) = 2a²(1-cos(α)) = 4a²(1-cos(α))/2 = 4a²sin²(α/2). Отсюда c=2a·sin(α/2).

Так как параллелепипед прямой, то бОльшая диагональ основания, бОльшая диагональ параллелепипеда и боковое ребро (обозначим его h) образуют прямоугольный треугольник с углом β между указанными диагоналями. Находим длину бокового ребра:

h = c·tg(β) = 2a·sin(α/2)·tg(β)

Боковые грани параллелепипеда представляют собой прямоугольники со сторонами a и h. Площадь одной грани S_г = a·h. Всего граней 4, значит, площадь всей боковой поверхности S = 4·a·h.

Итак, площадь боковой поверхности S = 4·a·2a·sin(α/2)·tg(β) = 8a²·sin(α/2)·tg(β)