Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Тесты ЕГЭ, ГИА , IQ » Решение квадратных уравнений и Теорема Виета

Решение квадратных уравнений и Теорема Виета

создана: 19.08.2012 в 15:36
................................................

 ( +1026 ) 

:

    


 

    ax2 + bx + c = 0

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a, b,c  может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac:

при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле:

X1=(-b +(b2-4ac)1/2)/(2a)

X2=(-b -(b2-4ac)1/2)/(2a)

при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

X1,2=-b/(2a)

при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

X1=(-b +i (-b2+4ac)1/2)/(2a)

X2=(-b -i (-b2+4ac)1/2)/(2a)

 ( +3192 ) 
16.01.2010 21:25
Комментировать

Решать квадратные уравнения умеют практически все школьники. Если коэффициенты большие или дробные, то они прибегают к помощи калькулятора.

Практические советы по решению квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0.

  1. Если коэффициенты дробные, то домножить обе части уравнения на общий знаменатель.
  2. Если целые коэффициенты имеют общий множитель, то разделить на него все коэффициенты.
  3. Если коэффициент при x2 отрицательный, то умножьте все коэффициенты на минус 1.
  4. Расположите все члены уравнения в порядке убывания степеней.

Эти рекомендации можно и не выполнять, но они вам упростят решение уравнения.

Если в квадратном уравнении  a=1 (коэффициент при x2), то оно называется приведенным. Для таких уравнений применима Теорема Виета:

Если приведенное квадратное уравнение x2 + bx + c = 0  имеет корни  x1  и   x2,

то  произведение корней равно свободному члену,

а их сумма равна коэффициенту  при  x,  взятому с противоположным знаком.

x1 · x2 = c,

x1 + x2 = —b.

Рассмотрим на примере.  

x2 - 7x + 12 =0.     D=72 — 4·12 = 1 >0,  уравнение имеет корни.

Претенденты на роль корней это 2 числа, которые в произведении дают 12. Причем, знаки у них одинаковые (либо оба +, либо оба -).  Но так как их сумма x1 + x2 = +7, значит, они положительны.

Какие это пары?  1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.  Но только 3+4=7, значит,  корни x1=3, x2=4.

Еще пример.

x2 + x — 12 =0.

Корни имеют разные знаки, т.к. их произведение равно   -12.

Например, такие пары: 1 и -12   или -1 и 12   или   2 и -6   или   -2 и 6   или   3 и -4  или   -3 и 4.  Проверим, какая пара в сумме дает  -1.    Это  3 и -4.   

Ответ: x1=3, x2=-4.

Рекомендую проверить полученные корни. Подставьте их в исходное уравнение и убедитесь, что левая часть равна 0.

 
09.09.2012 16:03
Комментировать

х2+9х-22=0 по теореме виета

 ( +3192 ) 
09.09.2012 16:28
Комментировать

-11 ;  2

22=2*11, но т.к. в уравнениии   с= -22, то корни с разными знаками.

пробуем 11 и -2   сумма 9, а должна быть -9, т.к. b=9

-11 и 2 в сумме -9 - верно. 

 
07.01.2016 18:18
Комментировать

12x^2 + 7х – 12 = 0  

по теореме Виета

решите,пожалуйста

 ( +3192 ) 
14.01.2016 19:40
Комментировать

Теорему Виета применяют для приведенных уравнений, таких, у которых  коэффициент при х2 равен 1. 

Типа х2+6х+8=0

Если уравнение имеет не целые корни, то подобрать их с помощью т.Виета не всегда удается.

Ваше уравнение:  12х2 +7х -12 = 0

D= 49+4*12*12=625

x1,2 = (-7±25)/24    x1=-32/24=-4/3   x2= 18/24= 3/4

Можно применить т.Виета для проверки корней.

Сделаем уравнение приведенным (разделим коэффициенты на 12):

х2 + 7/12 х -1 = 0

a=1      b= 7/12       c=-1

х1+х2= -4/3 +3/4 = -16/12 + 9/12 = -7/12  = -b

x1*x2= -4/3 * 3/4 = -1  = c

Всё верно.


Можно, конечно решать составлением системы.

х2 +7/12 х -1 = 0    По теореме Виета:

х1+х2 = -7/12   (1)

х1*х2= -1           (2)

Из (1):   х1= -7/12 -х2

Подставим в (2):    (-7/12 х -х2)*х2=-1  Получим квадратное уравнение для х2 такое же, как было вначале.   

 



 ( +3192 ) 
16.01.2010 23:02
Комментировать

А теперь тест №1.  Wink

Найдите корни уравнений по теореме Виета.

  1. x + 8x + 7 = 0
  2. x2 - 11x + 28 = 0
  3. x2 - 9x + 18 = 0
  4. x2 +16x + 63 = 0
  5. x2 - 10x + 16 = 0
  6. x2 - 12x + 27 = 0
  7. x2 + 12x + 32 = 0
  8. x2 - 13x + 30 = 0
  9. x2 - 11x + 18 = 0
  10. x2 + 4x + 3 = 0
  11. x2 - 8x - 9 = 0
  12. x2 + x - 2 = 0
  13. x2 - 6x - 40 = 0
  14. x2 + 4x - 32 = 0
  15. x2 - 36 = 0
  16. x2 + x - 12 = 0
  17. x2 + 8x - 20 = 0
  18. x2 - x - 6 = 0
  19. x2 + 2x +1 = 0
  20. x2 + 4x + 4 = 0
 ( +3192 ) 
16.01.2010 23:30
Комментировать

 


Тест №2.   Tongue out

1. Если вас попросят, не решая уравнение, определить, имеет ли оно корни, то вы:

А) Попытаетесь подобрать их, пользуясь теоремой Виета.

Б) Угадаете.

В) Вычислите дискриминант.

Г) Все-таки решите уравнение.

2. Определите знаки корней уравнения, если они существуют, не решая уравнения  x2 - 15x +54 = 0

А) Корни имеют разные знаки.

Б) Оба корня положительные.

В) Оба корня отрицательные.

Г) Уравнение корней не имеет.

3. Определите знаки корней уравнения   2x2 + 36x -126 = 0

А) Корни имеют разные знаки.

Б) Оба корня положительные.

В) Оба корня отрицательные.

Г) Уравнение решений не имеет.

 

Ответы на Тест №1: 1. -7;-1  2. 4;7  3. 3;6  4. -7;-9  5. 2;8  6. 9;3  7. -4;-8  8. 10;3  9. 9;2  10. -3;-1

       11. -1;9  12. -2;1  13. -4;10  14. -8;4  15. 6;-6  16. -4;3  17. 2;-10  18. 3;-2  19. -1;-1  20. -2;-2

Ответы на тест № 2:       1 - В,   2 - Б,    3 - А.

 ( +3192 ) 
17.01.2010 12:02
Комментировать

Соотношение между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения  x2 + bx + c =0.

x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1 x= b2 - 2c.

Тест №3  Tongue out

1. Квадратное уравнение, корни которого равны (-4x1) и (-4x2),  где  x1, x2 - корни уравнения  x2 - 4x + 1 = 0,

имеет вид  x2 - bx + c = 0.   Найдите значение b-c.

2. Квадратное уравнение, корни которого на единицу меньше корней уравнения x2 - 6x + 3 = 0,

имеет вид x2 - bx + c = 0.   Найдите значение b-c.

 

 

 

Ответы на Тест №3:   1. 4      2. 1

Продолжение будет...

 ( +1026 ) 
28.01.2010 15:41
Комментировать

pppp

 ( +3192 ) 
31.01.2010 20:01
Комментировать

И что это значит? А между прочим, по вопросам КВУР и теоремы Виета заходят довольно часто.

Искали: 1 Как определить знаки корней, не решая уравнения. 2 Теорема Виета и пр.

Но самое интересное, что к нам на сайт зашли в надежде "... прослушать звуки глушителя"

Яндекс их направил на страницу  Новости/ Ученикам/ Европа начала борьбу с плеерами

http://www.postupivuz.ru/news/27.htm

 ( +1026 ) 
04.02.2010 11:35
Комментировать

это я язык показываю тем, кто так и не смог в этом разобраться :-PTongue out

 ( +53 ) 
02.09.2010 23:05
Комментировать

Как найти сумму кубов корней из теоремы Виета?

 

 ( +958 ) 
02.09.2010 23:14
Комментировать

X13 + X23 = (X1 + X2)(X12 -X1·X2 +X22) = (X1+X2)(X12 +2X1·X2 +X22 - 3X1·X2)=

= (X1 + X2)[(X1 + X2)2 - 3X1·X2] = -b·(b2 - 3c) = -b3 + 3bc.

 ( +9 ) 
15.05.2011 17:41
Комментировать

существует еще один способ  решения квадратных ур-ний:

ax2+bx+c=0

если b-четное, то можно взять коэфициен k=b/2 и в дальнейшем с ним работать.. в этом случае дискриминант будет в 4 раза меньше.. что позволит вам без труда извлекать корень..

D=k2-ac

x1,2=(-k±√D) / a

Хочу написать ответ