Продлим линию АР до пересечения с продолжением основания ВС. Обозначим точку пересечения как Q.

Тогда Треугольник CPQ равен APD по стороне и двум углам ( углы СPQ и APD равны как вертикальные, QCP и PDA как накрест лежащие CP=PD по условию). Значит CQP угол равен углу PAB.

Значит треугольник ABQ равнобедренный. Значит его медиана BP совпадает с биссектриссой. 

Требуемое доказано.

Площадь трапеции очевидно равна площади треугольника ABQ. Которая в свою очередь равна половине произведения длины основания |AQ|=2*|AP|=16 на высоту |BP|=6. Таким образом площадь равна 8*6=48.