Точка К - точка касания поверхности полушара с боковой гранью пирамиды. Тогда отрезок ОК перпендикулярен грани, и |OK|=R. Прямая, проведённая через вершину пирамиды и точку К, пересечёт ребро основания в точке F. Так как пирамида правильная, то точка F будет лежать на середине ребра AD, а точка О является центром основания как пирамиды, так и полушара, значит, |OF|=|AD|/2.

Обозначим OE=H - высота пирамиды, AD=a - боковое ребро пирамиды.

Треугольник EOF - прямоугольный. По теореме Пифагора |EF|²=|OE|²+|OF|²=H²+|OF|².

Треугольники ОКЕ и OKF - тоже прямоугольные. Применяем снова теорему Пифагора:

|EK|=√(H²-R²);  |KF|=√(|OF|²-R²)

Но |EF|=|EK|+|KF|. Отсюда

(|EK|+|KF|)²=H²+|OF|² или

(√(H²-R²)+√(|OF|²-R²))²=H²+|OF|²

Выразим из полученной формулы Н через R и OF.

H²-R²+2√((H²-R²)(|OF|²-R²))+|OF|²-R²=H²+|OF|²

2√((H²-R²)(|OF|²-R²))=2R²

√((H²-R²)(|OF|²-R²))=R²

(H²-R²)(|OF|²-R²)=R⁴

H²=R⁴/(|OF|²-R²)+R²

H²=(R⁴+R²|OF|²-R⁴)/(|OF|²-R²)

H²=R²|OF|²/(|OF|²-R²)

H=R|OF|/√(|OF|²-R²)

Объём пирамиды равен V=(1/3)SH, где S - площадь основания, H - высота.

В основании правильной пирамиды лежит квадрат, поэтому S=a²

Так как |OF|=a/2, то можно записать V=(1/3)a²Ra/(2√(a²/4-R²))=a³R/(3√(a²-4R²))

Как видно из формулы, а не должно быть равно 2R.

Чтобы найти минимальный объём, нужно взять производную от функции, определяющей объём, и приравнять производную к нулю.

V(a)'=(a³R/(3√(a²-4R²)))'=(1/3)((a³R)'√(a²-4R²)-a³R(√(a²-4R²))')/(a²-4R²)=2a²R(a²-6R²)/(3 ³√(a²-4R²))

2a²R(a²-6R²)/(3 ³√(a²-4R²))=0

2a²R(a²-6R²)=0

2a²R=0

a=0 - при этом значении пирамиды не будет

a²-6R²=0

a=R√6 - при такой длине ребра основания объём пирамиды будет наименьшим.

Объём же будет равен V=R³√216·R/(3√(6R²-4R²))=R³·2√3