Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника. Учебник по геометрии за 7-9 классы Л.С. Атанасян.
Фигура называется симметричной относительно прямой k, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой k тоже принадлежит этой фигуре. Прямая k называется осью симметрии этой фигуры.
Две точки K и L симметричны относительно прямой k, если прямая k прходит через середину отрезка KL и перпендикулярна ему.
Пусть прямая k проходит через биссектрису СО.
Рассмотрим точки А и В (вершины основания). Т.к. биссектриса равнобедренного 3-ка является и медианой и высотой, то она проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярно ему. А это и есть условие симметрии двух точек относительно прямой.
Проведем произвольно прямую перпендикулярно биссектрисе. Докажем, что точки K и L, полученные при пересечении сторон, симметричны относительно биссектрисы.
Рассмотрим треугольники СКМ и СML. Они прямоугольные, сторона СМ -общая. Угол RCV и угол LCM равныб т.к. СО - биссектриса. Эти треугольники равны по катету и острому углу, тогда КМ=КL.
Значит точки L и К равноудалены от прямой СО, т.е. являются симметричными. Так же мы можем для любой точки на стороне АВ найти ей симметричную.
По определению симметрии прямая СО является осью симметрии.