Задачи на применение теоремы Пуассона с решением.

№ 1. Семена горчицы содержат 7% семян сорняков. Определить вероятность того, что партия из 100 семян содержит 10 семян сорняков.

Решение.

Вероятность того, что взятое одно семя – сорное, равна р= 0,07, а не сорное –  1-р=0,93, n=100, m=10.

По формуле Бернулли P_n(m)= C_n^mp^m(1-p)^n-m

                Р₁₀₀(10)=С₁₀₀¹⁰*0,07¹⁰*0,93^100-10.

При большом количестве испытаний n  пользоваться формулой  Бернулли неудобно.

Применим формулу Пуассона.

Теорема Пуассона.  Если вероятность p наступления события  A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность наступления события A  ровно  m раз приближенно равна 

      P_n(m) = λ^m*e^-λ/m!

     где   λ=np

Решение.   n=100,  p=0,07,  m=10

λ=np=7,    P₁₀₀(10)= 7¹⁰*e^-7/10!

Р₁₀₀(10)≈ 282475249*0,00091/23628800 ≈ 0,0012