Задача 19 профиль . Найти количество натуральных делителей числа N= 5^7·7^5.
liliana :
19. а) Найти количество натуральных делителей числа N= 57·75.
б) Доказать, что число M = 57·75 +1 является составным.
в) Натуральное число X имеет в качестве простых делителей 5, 7.
Найти все такие x, у которых удесятеренное число натуральных делителей
равно сумме количеств натуральных делителей чисел x2 и x3.
Решение.
а) I способ. Делителями N могут быть числа вида 5х*7у, где х и у принимают
различные целые значения: 0 ≤х ≤ 7, 0 ≤ у ≤ 5.
Делитель может представлять степень 5, таких делителей 7: 5, 25,125 ... 57.
Делитель может представлять степень 7: 7, 49, ... 75. таких делителей 5.
Делитель может состоять из произведения некоторого количества пятерок и семерок.
Количество таких делителей 7*5 = 35.
Следует учесть натуральный делитель 1 (при х=0, у=0).
Общее количество делителей равно 7+5+35+1= 48.
II способ решения а).
Число ах*bу*cz... имеет (х+1)*(у+1)(z+1)*... натуральных делителей.
В нашем случае число 57*75 имеет (7+1)*(5+1)= 8*6=48 натуральных делителей.
____________________________________________________________________
б) Докажем, что число М=57*75+1 является составным.
Покажем, что М делится на 2. 57 - нечетное число, 75 - нечетное число.
Произведение 57*75 - нечетное, как произведение двух нечетных чисел.
Если к нечетному числу прибавить 1, то получим четное число.
Значит, М - четное.