Отрезки, на которые гипотенуза делится высотой называются проекциями катетов на гипотенузу и обозначаются c_a и c_b.

Известно, что высота - это среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, т.е.

h² = c_a · c_b

Также известно, что катет - это среднее пропорциональное проекции этого катета на гипотенузу и гипотенузы, т.е.

a² = c_a · c; b² = c_b · c

Отсюда видно, что a² / b² = c_a / c_b

c_a / c_{b =} a² / b² = (a / b)² = (3/4)² = 9/16

c_a · c_b = h² = 48²

Перемножим эти уравнения:

(c_a / c_b ) · (c_a · c_b) = 9/16 · 48²

c_a² = 9·3·48 = 9·3·3·16 = 81·16

c_a = 9·4 = 36

c_b = 48² / 36 = 48² / 6² = (48/6)² = 8² = 64

Ответ: 36 и 64