Вероятность попадания стрелком в цель при выстреле равна 0,7.
Стрелок стреляет до первого попадания.
Чему равна вероятность того,что ему потребуется:
     а)три выстрела
     б)не более трех выстрелов

Решение. Вероятность не  попадания при выстреле равна 1-0,7=0,3

а) 0,3*0,3*0,7=0,063 - первые 2 раза не попал, а третий раз попал.

б) не более трех - это значит, что потребуется 1 или 2 или 3 выстрела

для каждого случая считаем вероятности и их складываем

0,7+0,3*0,7+0,3*0,3*0,7=0,7+0,21+0,063=0,973

Вероятность промаха при одном выстреле 0,4. 
Чему равно среднее число попаданий при 20 выстрелах?

Решение.

0,6  -вероятность попадания при одном выстреле, это 60% попаданий.

20*60%=20*0,6=12

Ответ: 12 попаданий

Составить закон распределения числа попаданий в мишень при трех выстрелах,
если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7.
Найти его числовые характеристики.

Решение Centurio.

http://www.postupivuz.ru/vopros/16865.htm

Снаряд уничтожает цель с вероятностью 0,8.
Сколько надо выпустить снарядов по цели,
чтобы уничтожить цель с вероятностью 0,99?

Решение.

Вероятность промаха при первом выстреле равна 0,2, при каждом следующем выстреле такая же.
Подсчитаем количество выстрелов х, при которых цель не будет уничтожена
с вероятностью менее 1-0,99=0,01.

x=1   p1=0,2 - вероятность промаха при одном выстреле

x=2   p2=0,2*0,2=0,04 - вероятность промаха при 2-х выстрелах.

х=3   р3=0,2*0,2*0,2=0,008 - вероятность промаха при трех выстрелах, что меньше 0,01.

Значит х=3

Ответ: 3.

2-й способ.

Вероятность поражения цели при х выстрелах равна сумме вероятностей поражения цели при одном или 2-х или 3-х и т.д. или при х выстрелах.

1) Вероятность поражения цели при одном первом выстреле равна р1=0,8,

2) Вероятность промаха при первом и поражения при втором равна р2=0,2*0,8=0,16.

Вероятность поражения при первом или втором рана 0,8+0,16=0,96

3) Вероятность промаха при первом и втором и поражении при третьем равна

    р3=0,2*0,2*0,8=0,032

Вероятность поражения при первом или втором или третьем равна

р1+р2+р3=0,8+0,16+0,032= 0,992 >0,99

Значит, необходимо сделать 3 выстрела.

Ответ: 3.

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение. Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить её при первом или втором или ...  k-м выстреле.

Будем вычислять вероятность уничтожения при k-м выстреле, задавая значения k=1,2,3... И суммируя полученные вероятности

k=1     P=0,4                S=0,4

k=2     P=0,6*0,6=0,36  - при первом выстреле промах, при втором цель уничтожена      

S=0,4+0,36=0,76

k=3     P=0,6*0,4*0,6 = 0,144 - цель уничтожена при третьем выстреле

S=0,76+0,144=0,904

k=4     P=0,6*0,4*0,4*0,6= 0,0576 - при 4-м

S=0,904+0,0576=0,9616

k=5     P=0,6*0,4³*0,6 = 0,02304

S=0,9616+0,02304=0,98464    -  достигли нужной вероятности при k=5.

Ответ:  5.

Вероятность попадания одной ракеты в цель равна р = 0,7. Для поражения цели достаточно одного попадания. Скoлько следует выполнить пусков ракет, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0,99?

Решение Farika.

Рк - вероятность попадания при к-том выстреле

Р1=0,7

Р2=0,3*0,7=0,21 - первый раз ракета не попала, второй попала

Р1+Р2=0,91 - вероятность, что попала при первом или втором выстреле.

Получили меньше 0,99

Вычисляем Р3 и находим новую сумму.

Р3=0,3*0,3*0,7 = 0,063   - 2 раза не попала, третий попала

Р1+Р2+Р3=0,91+0,063=0,973  - мало

Р4=0,3*0,3*0,3*0,7=0,0441 - 3 раза не попала, 4-й раз попала

Р1+Р2+Р3+Р4=0,973+0,0441= 1,0171  > 1 значит, при четырех выстрелах ракета наверняка попадет

Ответ: 4

Решение Centurio.

Вероятность промаха равна 1-0,7=0,3.

Вероятности промаха с каждым пуском будут перемножаться. Если обозначить количество пусков через n, то вероятность промаха будет 0,3ⁿ. Тогда вероятность попадания выразится формулой 1-0,3ⁿ, что по условию, должно быть не менее 0,99. Необходимо решить неравенство:

  1-0,3ⁿ ≥ 0,99

  0,3ⁿ ≤ 0,01

(3ⁿ/10ⁿ) ≤ 1/10² 

Видно, что n должно быть не менее 2. При n=2 получится (0,3)² = 0,09 - не соответствует условию.

При n=3 будет (0,3)³=0,027 - тоже не подходит.

При n=4 получится  (0,3)⁴ =0,0081<0,01 - соответствуют условию.

Ответ: требуемая вероятность попадания будет достигнута при пуске  4 ракет.

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,6, для третьего - 0,5.Найти вероятность, двух попаданий в цель, если каждый стрелок делает по одному выстрелу.

Решение.

P₁₂ = 0,8*0,6*(1-0,5)  -  вероятность того, что 1-й и 2-й попали , 3-й нет

Р₁₃ = 0,8*(1-0,6)*0,5   - вероятность, что 1-й и 3-й попали

Р₂₃ = (1-0,8)*0,6*0,5 - вероятность того, что попали 2-й и 3-й

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ - вероятность, что попали 2 стрелка, а один нет.

Мишень представляет три области.

Для данного стрелка вероятность попасть в первую область 0,15,
во вторую — 0,25, в третью — 0,4.
а) Какова вероятность стрелку попасть с первого выстрела в какую-нибудь
из трех областей?
б) Какова вероятность промазать с первого выстрела?

Решение.

а) Одновременно попасть в две или три области при одном выстреле нельзя,
значит события "попал в 1-ю область", "попал во 2-ю" "попал в 3-ю" — 
несовместные события, поэтому

Р = Р1 + Р2 + Р3 = 0,15 + 0, 25 + 0,4 = 0,8.

Ответ: 0,8

б) Событие «промазать» противоположно событию «попасть куда-нибудь».

Поэтому  Р1 = 1-Р = 1-0,8=0,2

Ответ: 0,2.