Sполн = 48п

Пусть радиус основания R=х, а высота цилиндра H=у.

Sполн = 2пR²+2пRH = 2пх² +2пху = 48п

2х²+2ху = 48,      ху = 24-х² ,     у = (24-х²)/х = 24/x  -x

Составим функцию объема цилиндра V = пR²H,

V(x) = пx²*(24/x -x) = 24пx -пх³.

Найдем наибольшее значение функции V(x) при х>0.

V′(x) = 24п -3пх² = 0

3пx² = 24п

х²=8,   х=2√2 - точка экстремума.

знаки V′:  0_____+_____2√2_______-_________

 V(x)                     ↑           x_max              ↓

х=2√2 - точка максимума, следовательно, наибольший объем будет,

                если радиус основания равен 2√2.

Ответ: 2√2.