Пусть дана функция f(x) = ax2 +bx + c. Известно, что f(1) = a + b + c > 0. Найти наименьшее целое f(0) = c ?
Т.к. f(1) > 0, то следовательно в верхней полуплоскости находится точка параболы. Т.к. парабола не имеет корней и не должна пересекать ось OX (и при этом является непрерывной функцией), то попасть в нижнюю полуплоскость не пересекая ось OX она не может (пунктирная парабола).
Т.е. из условия отсутствия корней следует, что парабола полностью находится в верхней полуплоскости, а значит ординаты ВСЕХ её точек положительны!
В том числе и ордината точки x = 0: c = f(0) > 0 Наименьшее целое, удовлетворяющее этому неравенству: c = 1.
Проверим, действительно существует хотя бы одна функция с коэффициентом c=1, удовлетворяющая условиям.