Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Задачи в целых числах » пусть а множество всех шестнадцати значных натуральных чисел,для каждого из которых выполняется 2 условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит 1,Докажите что все числа из множества А четные и множество А содержит более чем 10^6 чисел

пусть а множество всех шестнадцати значных натуральных чисел,для каждого из которых выполняется 2 условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит 1,Докажите что все числа из множества А четные и множество А содержит более чем 10^6 чисел

создана: 16.11.2019 в 10:58
................................................

 

:

пусть а множество всех шестнадцати значных натуральных чисел,для каждого из которых выполняется 2 условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит 1,Докажите что все числа из множества А четные и множество А содержит более чем 10^6 чисел

 ( +1021 ) 
11.03.2019 16:22
Комментировать Верное решение
(баллы:+20)

A - множество шестнадцатизначных чисел таких, что:

  • оно является квадратом целого числа
  • в его десятичной записи в разряде десятков стоит 1
  • Доказать, что:

    • все числа из множества A - чётные
    • множество А содержит более чем 106 чисел

    Рассмотрим число из множества A, обозначим его N. Известно, что N = M2. Т.к. у числа N количество десятков 1, то число оканчивается на значения 10, 11, ..., 19. Тогда остаток от деления числа N на 20 должен быть от 10 до 19! Представим число M в виде: M = 10a + b, где b - число от 0 до 9. N = M2 = (10a + b)2 = 100a2 + 20ab + b2 = 20 (5a2 + ab) + b2 Получается, что остаток от деления числа N на 20 совпадает с остатком от деления b2 на 20. И он должен быть от 10 до 19!

    Число b2 Остаток от деления на 20
    12 = 1 1
    22 = 4
    4
    32 = 9
    9
    42 = 16
    16
    52 = 25
    5
    62 = 36
    16
    72 = 49
    9
    82 = 64
    4
    92 = 81 1

    Видим, что требуемый остаток возможен только при b = 4 или b = 6. Значит число M = 10a + b  оканчивается цифрой 4 или 6. Тогда N = M2 заканчивается на 6 (42 = 16, 62 = 36), т.е. чётное. А так как в числе N число десятков 1, то число N заканчивается на ...16

     

    Мы определились в прошлом пункте, что для того, чтобы число N = M2 имело количество десятков 1 необходимо, чтобы число M заканчивалось на 4 или 6. Однако этого недостаточно! Не любое число M, которое заканчивается на 4 или 6 подходит! Так 442 = 1936, а 462 = 2116 - первое число имеет 3 десятка. Это связано с тем, что в прошлом пункте для упрощения мы рассмотрели остатки от деления на 20! 1936 тоже при делении на 20 дает остаток 10 <= 16 <= 19.

    Теперь усилим требования и найдём все такие числа b, которые при возведении в квадрат будут иметь количество десятков 1. Как было показано выше, такие числа при возведении в квадрат должны оканчиваться на 16! Значит, остаток от деления на 100 должен быть в точности равен 16! Рассмотрим случаи, где M = 100u + 10v + w, где v - число от 0 до 9, а число w = 4 или w = 6 (показано выше). M2 = (100u + 10v + w)2 = 10000u2 + 100v2 + w2 + 2000uv + 200uw + 20vw = 100 (100u2 + v2 + 20uv + 2uw) + (w2 + 20vw). Остаток от деления N = M2 на 100 совпадает с остатком от деления (w2 + 20vw) на 100. И он должен быть равен 16.

    • Если w = 4, то w2 + 20vw = 16 + 80v = 100k + 16. Тогда 80v = 100k; v = 5k/4.
      Из условия, что v - число от 0 до 9 подходит только числа v = 0 и v = 5.
      В таком случае, число M заканчивается на ...04 или ...54
    • Если w = 6, то w2 + 20vw = 36 + 120v = 100k + 16. Тогда 120v = 100k - 20; 6v = 5k - 1;
      v = (5k - 1)/6
      Из условия, что v - число от 0 до 9 подходит только числа v = 4 и v = 9.
      В таком случае, число M заканчивается на ...46 или ...96

    Значит, чтобы получить число с количеством десятков 1 необходимо и достаточно брать числа M, оканчивающиеся на ...04, ...54, ...46, ...96 и при возведении в квадрат они будут удовлетворять требуемому условию. Других таких чисел нет!

    Оценим, сколько может быть таких чисел: Если 1015 <= N < 1016 (1015 - наименьшее шестнадцатизначное число), то:

    1015 <= M2 < 1016 107 ·√10 <= M < 108

    Сузим круг поиска, тем самым занизив оценку, но упростив вычисления.

    √10 < 4, значит 107 · 4 <= M < 108 40 000 000 <= M < 100 000 000

    Значит число M имеет вид: AB CDE F04; AB CDE F54; AB CDE F46; AB CDE F96.

    Число A = 4, 5, 6, 7, 8, 9 - возможно 6 цифр.

    Числа B, C, D, E, F - возможно 10 цифр

    Число комбинаций: 6 * 10 * 10 * 10 *10 * 10 * 4 = 24 * 105 = 2 400 000.

    Данная оценка занижалась, поэтому количество таких чисел больше 2 400 000, т.е. явно больше, чем 106 (ч.т.д.)

    Хочу написать ответ