а1+a3=5/4;          a1+a1*q²=5/4 ;           a1(1+q²)=5/4     (1)

a1-a5=15/16;        a1-a1*q⁴ =15/16 ;        a1(1-q⁴)=15/16  (2)

Делим (2) на (1)

(1-q⁴) / (1+q²) = (15/16) : (5/4)

1-q²   = 3/4     -->  q²=1/4;       q=1/2  (по условию an>0  -->   q>0)

Найдем отношение (a1² +a2² +a3² +....) / (a1+a2+a3+...)²

(a1²q² +a1²q⁴ + a1²q⁶+...) / (a1q +a1q² +a1q³ +...)²

из первой скобки вынесем q², из второй вынесем а1 и возведем в квадрат.

а1² сократятся

В скобках геометрические прогрессии

(q²+q⁴+q⁶+...) / (q+q²+q³+...)² = 

q²(1+q²+q⁴+...) / q²(1+q+q²+...)² =

=(1+q²+q⁴+...) / (1+q+q²+...)²=

= 1/(1-q²) : (1/(1-q))²

q=1/2, тогда 1/(3/4)  : 2² = 4/3 :4 = 1/3

Ответ: 1/3