Будем выписывать набор из 5 шаров, а затем подсчитывать количество

всевозможных цепочек (последовательностей) в этом наборе. 

Подсчитываем не количество способов составить эти последовательности,

а количество цветовых решений - цепочек.

1) 3 белых + 2 черных = 3 б + 2 ч   

Это цепочки: БББЧЧ   БЧБЧБ   ББЧЧБ  и т.д. Подсчитаем количество таких цепочек.

3 белых шара на 5 мест в наборе можно поставить С₅³ = 5!/(3!*2!) = 5*4/2 = 10 способами

2 черных  станут на оставшиеся 2 места.    Получили 10 цепочек

2) 3 б + 1 ч + 1 с     С₅³ *2 = 10*2=20 цепочек 

(белые 10 способов, а черный и синий - 2 способа на оставшиеся 2 места)

3) 3 б + 2 с    С₅³=10 цепочек

4) 2 б + 2 ч + 1 с       С₅² *3 = 10*3=30 цепочек  (когда 2 белых поставили, то

1 синий можем поставить 3 способами)

5) 2 б + 1 ч + 2 с        С₅² * 3 = 10*3=30 цепочек

6) 2 б + 3 с       С₅² =10 цепочек

7) 1 б + 2 ч + 2 с    С₅²*3= 30 цепочек        или 5*С₄²

8) 1 б + 1 ч + 3 с     5*4=20 цепочек

9) 1 б + 4 с       5 цепочек

10) 2 ч + 3 с     С₅²=10 цепочек

11)  1 ч + 4 с    5 цепочек

12)  5 с               1 цепочка

Суммируем количество цепочек:

10+20+10+30+30+10+30+20+5+10+5+1 = 181 цепочка (последовательность)