Elis :

Задание 19 № 548389

На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки +
и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц,
то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?

Решение.

а) Да, например, 10 раз по 11 и 40 раз по 1.

б) Нет. Заметим, что число дает тот же остаток от деления на 3, что и его сумма цифр.
Поэтому сумма всех этих чисел будет давать остаток от деления на 3 такой же, как и
просто сумма восьмидесяти единиц, то есть 2, а 150 кратно трем. Противоречие.

в) Ясно, что использовать слагаемые большие чем 111 нельзя, а само число 111 можно, 

но только один раз. Если оно использовано, то нужно набрать ещё 39, это делается
использованием числа 11 от 0 до 3 раз и, соответственно, требует 42, 33, 24, 15 единиц.

Если число не использовано, то можно использовать 11 от 0 до 13 раз.
Каждое новое использование 11 вместо двух единиц увеличивает сумму на 9,
поэтому должно сопровождаться выкидыванием девяти единиц. Следовательно, можно
взять также 150, 141, ..., 33 единицы. Общий ответ: числа 150, 141, ..., 15
прогрессия с разностью 9).

Ответ:

а) да, б) нет, в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Москва, Задания 19 ЕГЭ–2020

https://ege.sdamgia.ru/problem?id=548389