1) Решим уравнение  sin(5x+pi/4)=1

5x +pi/4 =pi/2 +2pi k

5x =pi/2- pi/4 +2pik

5x = pi/4 +2pik

x = pi/20 +2pik/5 

2) отберем корни, принадлежащие интервалу  (-pi/2;pi/2) 

с помощью неравенства

-pi/2 < pi/20 +2pik/5 < pi/2   сократим на pi

-1/2 < 1/20 + 2k/5  < 1/2        умножим на 20

-10 < 1 + 8k < 10

-11 < 8k < 9

-11/8 < k < 9/8

-1,375 < k< 1,125

Целые k  в этом интервале : -1, 0, 1.   Подставим эти k в формулу

x = pi/20 +2pik/5 

k=-1  x= pi/20 -2pi/5 = -7pi/20

k=0   x= pi/20

k=1   x= pi/20 + 2pi/5 = 9pi/20

3) Найдем сумму корней из интервала (-pi/2; pi/2)

-7pi/20 +pi/20 + 9pi/20 = 3pi/20

Ответ:   3pi/20