Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА
все темы
все уроки
создана: 19.11.2019 в 22:28 ................................................
Nikit :
Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство:
а) 1+2+3+...+n=((n+1)*n)/2
b)2+4+6+...+2n=n*(n+1)
c)3+12+...+3*4n-1=4n-1
d)4+0+...+4*(2-n)=2n(3-n)
а) при n=1 верно, т.к. 1=(1+1)*1/2, n - количество членов ряда.
Предположим, что равенство верно при n=k, докажем, что верно при n=k+1.
1+2+...+k = (k+1)k / 2 - верно по условию
Пусть n= k+1, тогда
1+ 2+ ...+ k + (k+1) = {заменим сумму первых k слагаемых по формуле}
= (k+1)k / 2 + (k+1) = (k+1)(k/2 +1) = (k+1)(k/2+2/2) = (k+1)(k+2)/2 =
= (k+2)(k+1)/2 (*)
Видим, что, если в вместо n в исходную формулу подставить k+1, то получим то же выражение (*)
b) 2+4+6+...+2n=n*(n+1) n=1 2=1*2 - верно
Пусть верно при n=k : 2+4+6+...+2k=k(k+1)
Докажем, что верно при n=k+1.
n=k+1 2+4+6+...+2k + 2(k+1) = k(k+1)+2(k+1) = (k+1)(k+2) - верно
n=1 3 = 41 -1 -верно
Докажем, что верно при n=k+1
3+1*41 +...+ 3*4k-1 + 3*4k= 4k -1 + 3*4k = 4k *4 - 1 = 4k+1 -1 - верно.
d) 4+0+...+4*(2-n) = 2n(3-n) n- номер члена ряда
4(2-1) + 4(2-2) + 4(2-3) + 4(2-4) + ... + 4(2-n) = 2n(3-n)
n=1 4=2(3-1) - верно
Пусть при n=k 4+0+...+4(2-k) =2k(3-k) - верно
Проверим при n=k+1 4+0+...+4(2-k) + 4(2-k-1) = 2k(3-k) +4(1-k) = 6k-2k2+4-4k =
-2k2+2k+4 = -2(k2 -k-2) = -2(k-2)(k+1) = 2(k+1)(2-k) - верно
спасибо большое))))))))))))
