Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА
все темы
все уроки
создана: 08.11.2012 в 00:11 ................................................
liliana :
Таблица простейших интегралов.
Определение.
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x),
если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство
F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
№ 1. Найти первообразную функции у = х2 -2х - 3, график которой проходит через точку (-1; 3).
Решение.
F(x) = x3/3 - x2 - 3x +C, С=const. F( -1) = 3.
-1/3 - 1 + 3 +C = 3, C = 4/3, F(x) = x3 /3 - x2 - 3x + 4/3.
№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3, y=0, x=-3, x=1.
0 1 0 1
-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5
-3 0 -3 0
№ 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=2x; y=2x/2; x=2.
S= 0∫2 (2x - 2x/2 )dx = (2x / ln2 – 2*2x/2 / ln2) |o2 = 4/ln2 - 4/ln2 - ( 1/ln2-2/ln2) = 1/ln2.
№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1, у=0, x=0
F(x) = x4/4 +x; S = F(0) - F(-1) = 0+0 - (1/4 - (-1)) = -1/4 + 1 = 3/4
№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x, у=0, x=0, x=п/2
F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cosп/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2
№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2, у=0,
Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.
F(x) = 4x - x3/3; S = 2* (F(2) - F(0)) = 2*(4*2 - 8/3 -0)=16 - 16/3 = 16 - 5 1/3 = 10 2/3
№ 6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+ 0,5cos x, у=0, x=-п/2, x=п/2
F(x) = x+0,5sinx; S = 2*(F(п/2) - F(0)) = 2*(п/2 +0,5*sin(п/2) -0 - 0,5sin0 ) = 2*(п/2 +0,5) = п +1≈ 4,14
№ 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2, у=√х.
Найдем пределы интегрирования: х2=√х; х=0, х=1.
S= 0∫1 √(√x - x2)dx =( x3/2/1,5 - x3/3 ) |10 = 1/1,5 -1/3 - 0 = 2/3 - 1/3 = 1/3
№ 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2=2х+4 , х=0.
Решение. y= ±√(2x+4); x=0 - ось OY
Надо вычислить площадь закрашенной фигуры. Вычислим площадь части фигуры, находящейся во второй четверти, затем умножим её на 2.
S= 2* (F(0)- F(-2))
F(x) = (2x+4)3/2 /3 +C, F(x) - первообразная функции у(х). F'(x) = y.
S = 2*[(0+4)3/2 /3 - (-4+4)3/2 /3] = 2*8/3 = 16/3
1) ∫xsin3xdx
Решение. Воспользуемся формулой ∫u·dv = uv - ∫v·du
u=x, sin3xdx = dv, du=dx, v= ∫sin3xdx = -cos3x /3
∫xsin3xdx = - x(cos3x) /3 - 1/3 ∫(-cos3x)dx + С =
= -xcos3x /3 - 1/9 (-sin3x) + С = (-xcos3x)/3 + (sin3x)/9 + С
№ 2. ∫ ln2xdx
∫udv = uv - ∫vdu
∫ln2xdx Пусть ln2x = u, dx=dv
(2lnx)/x dx = du, v=x
Int = ∫ln2xdx = xln2x - ∫x(2lnx) /x dx + С = xln2x -2∫lnx dx + С
Найдем ∫lnx dx.
u=lnx du= 1/x *dx
dv=dx v=x
∫lnx dx = xlnx - ∫x/x dx + С = xlnx - x + С
Int = xln2x - 2(xlnx - x) +С = xln2x -2xlnx +2x + С
Найти площадь фигуры, ограниченную линиями у2=x; x=0; y=3
у=√x; x=0; y=3
= 3*9 - 2*√93/3 = 27 - 2*27/3 = 27-18=9
Ответ: 9.