7. Площадь поверхности шара уменьшили в 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного шара  r.

Поверхность шара  S₁ = 4пR² ,    стала  S₂ = 4пR²/9 = 4п (R/3)² = 4пr²   

Видим, что r=R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза. Можно сразу сказать, что объем уменьшится в 3³ раза, т.е. в 27 раз.   Подробнее:

Объем V1= 4/3 ПR³,   а объем V2= 4/3 пr³ = 4/3 п(R/3)³ =4/3 пR³ /27  =  V1 / 27.

Уменьшился в 27 раз.   Ответ: 27.

8. Три одинаковых металлических цилиндра высотой 3см радиусом основания 2см переплавили в шар. найдите диаметр этого шара (в см.).

Решение.  3*пR²H = 3п*4*3 = 36п

V шара = 4/3 *пR³ = 36п    

R³ = 36/4*3;     R³ = 27;   R=3;   D=2*3=6.

Ответ: 6.

9. Диагональным сечением прямоугольного параллепипеда ,вписанного в шар , является квадрат площадью S.   Найдите объем шара. 

Сечение - квадрат. Его диагональ AB= d - диаметр описанного шара.  R - радиус.

AO=OB;     d² =OB² +AO² = 2OB² =2S ,

либо сразу  S = d² /2  (площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, для квадрата и ромба угол= 90°, sin90°=1).

Отсюда      d= √(2S)

V шара = 4/3 пR³ = 4/3 п(d/2)³ = 4/3*пd³/8 = пd³/6 =п√(2S)³/6 = 2S√(2S)  п/6 = S√(2S) п/3.

10.  Обьем куба составляет 64 см³ . Ребро куба увеличили в пять раз. Во сколько раз увеличится поверхность шара, вписанного в куб.

Решение.

Vкуба= 64 = 4³     ребро куба = 4   радиус шара = 2

Если ребро куба увеличить в 5 раз, то и радиус увеличится в 5 раз.

Поверхность пропорциональна квадрату радиуса: S=4пR²

Значит, при увеличении радиуса в 5 раз, поверхность увеличится в 5² раз, т.е. в 25 раз.

Для тех, кто сомневается:

S1 = 4п*2² = 16п

S2 = 4п*(2*5)² = 400п                400п : 16п = 25

11. Правильная 4-х угольная призма описана около цилиндра, высота которого равна 2. Найти радиус цилиндра, если известно, что площадь боковой поверхности призмы равна 12.

11. Правильная призма — значит,  в основании квадрат. Высоты призмы и цилиндра равны: H=2. Пусть сторона основания призмы равна х, тогда диаметр цилиндра d=x.

Sбок = Pосн*Р = 4х*2= 8х   -->    8x=12   -->  x=1,5   -->   d=1,5  --> R=0,75

№ 12. Боковые ребра правильной 4-х угольной пирамиды равны 5, сторона основания равна 8. Найти площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: В основании — квадрат со стороной 8.   Sосн = 8*8=64.

4 боковые грани - равнобедренные 3-ки с основаниями 8, боковыми сторонами, равными 5.

Нарисуй этот 3-к и опусти высоту h на основание.

S бок= 4S 3-ка = 4*8*h/2=16h.

h - высота в 3-ке. По теореме Пифагора h²=5²-4² =9  -->   h=3    S бок=16*3=48

S пов= S осн + S бок = 64+48=112.

13. Объём первой пирамиды равен 24. У второй пирамиды площадь основания в 6 раз больше, чем площадь основания первой пирамиды, а высота второй пирамиды в три раза меньше, чем первой. Найти объём второй пирамиды.

Решение.

V1 = Sосн*H = 24.       V2 = 6Sосн *H/3 = Sосн*H *6/3 =  24*2 = 48

Ответ: 48.

14. Объём первого конуса равен 18. У второго конуса высота в 4 раза меньше, а радиус основания в два раза больше, чем у первого. Найти объём второго конуса.

V1= пR²H = 18         V2= п(2R)²*H/4 = п*4R²*H/4 = пR²H = 18

Ответ: 18.

15.

Стороны основания правильной 6-ти угольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найти площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение.

Боковая поверхность - 6 равных равнобедренных треугольников. Основание каждого равно 10. Найдем высоту боковой грани.

h² = 13² - 5² =144   -->  h=12          S3-ка = 10*12/ 2 = 60    S бок =6*60=360

Ответ: 360.