Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА
все темы
все уроки
создана: 21.12.2012 в 11:32 ................................................
garry :
sin49x + cos715x*cos29x = 1. Найти корни: квадратная скобка -2π; -π/2 квадратная скобка.
Заметим, что sin49x = (sin29x)2 = (1-cos29x)2 = 1-2cos29x+cos49x
Тогда sin49x + cos715x*cos29x = 1.
1-2cos29x+cos49x + cos715x*cos29x = 1
cos29x * (cos715x+cos29x-2)=0
cos29x = 0 или cos715x+cos29x-2 = 0
Рассмотрим подробнее второе уравнение: cos715x+cos29x-2 = 0
cos715x+cos29x=2
Т.к. |cos x| ≤1, то |cos2 x| ≤1 и |cos7 x| ≤1 (и вообще |cosn x| ≤1, где n€N)
Тогда равенство cos715x+cos29x=2 возможно только при равенстве наибольшему значению, т.е. 1 каждого слагаемого, т.е. cos715x =1 и cos29x=1
Отюда получаем систему уравнений:
cos 15x =1 15x = 2Πm; m€Z x = 2Πm/15; m€Z
cos 9x = 1 или cos 9x = -1 9x = Πn; n€Z x = Πn/9; n€Z
Решением системы будет: 2Πm/15 = Πn/9
2m/15=n/9
2m/5=n/3
6m = 5n
Таким образом, число m делится на 5, а число n - на 6.
Т.е. положив m = 5k, n = 6k, получим, что
x= 2Πm/15 = 10Πk/15 = 2Πk/3; k€Z
x= Πn/9 = 6Πk/9 = 2Πk/3; k€Z
А также первое уравнение: cos29x=0, т.е. cos 9x = 0
9x =Π/2+ Πk; k€Z
x= Π/18+Πk/9; k€Z
Произведём отбор корней: [-2Π;-Π/2]
-2Π≤ Π/18+Πk/9≤-Π/2 | - Π/18
-37Π/18≤ Πk/9≤-10Π/18 | * 9/Π
-37/2≤k≤-5
k = -18; -17; -16; ... ; -5
-2Π≤2Πk/3≤-Π/2 | * 3/(2Π)
-3≤k≤-3/4
k = -3; -2 ; -1
Ответ: x= Π/18+Πk/9; k€Z или x= 2Πk/3; k€Z
В ответах решением является 2πn/3; π/18 + πn/9 и 17 корней
Спасибо!!!!!
http://www.postupivuz.ru/vopros/5567.htm