Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы » Тригонометрия » решить уравнение sin^4(9x) + cos^7(15x)*cos^2(9x) = 1

решить уравнение sin^4(9x) + cos^7(15x)*cos^2(9x) = 1

создана: 21.12.2012 в 11:32
................................................

 ( +2 ) 

:

sin49x + cos715x*cos29x = 1. Найти корни: квадратная скобка  -2π; -π/2 квадратная скобка.

 ( +1026 ) 
20.12.2012 17:13
Комментировать Верное решение
(баллы:+3)

Заметим, что sin49x = (sin29x)2 = (1-cos29x)2 = 1-2cos29x+cos49x

Тогда sin49x + cos715x*cos29x = 1.

1-2cos29x+cos49x + cos715x*cos29x = 1

cos29x * (cos715x+cos29x-2)=0

cos29x = 0   или cos715x+cos29x-2 = 0

Рассмотрим подробнее второе уравнение: cos715x+cos29x-2 = 0

cos715x+cos29x=2

Т.к. |cos x| ≤1, то |cos2 x| ≤1 и |cos7 x| ≤1   (и вообще |cosn x| ≤1, где n€N)

Тогда равенство cos715x+cos29x=2 возможно только при равенстве наибольшему значению, т.е. 1 каждого слагаемого, т.е. cos715x =1 и cos29x=1

Отюда получаем систему уравнений:

cos 15x =1                                     15x = 2Πm; m€Z              x = 2Πm/15; m€Z

cos 9x = 1 или cos 9x = -1               9x = Πn; n€Z                 x = Πn/9; n€Z

 

Решением системы будет: 2Πm/15 = Πn/9

2m/15=n/9

2m/5=n/3

6m = 5n

Таким образом, число m делится на 5, а число n - на 6.

Т.е. положив m = 5k, n = 6k, получим, что

x= 2Πm/15 = 10Πk/15 = 2Πk/3; k€Z

x= Πn/9 = 6Πk/9 = 2Πk/3; k€Z

 

А также первое уравнение: cos29x=0, т.е. cos 9x = 0

9x =Π/2+ Πk; k€Z

x= Π/18+Πk/9; k€Z

 

 

Произведём отбор корней: [-2Π;-Π/2]

-2Π≤ Π/18+Πk/9≤-Π/2          | -     Π/18

-37Π/18≤ Πk/9≤-10Π/18          | *   9/Π

-37/2≤k≤-5

k = -18; -17; -16; ... ; -5

 

-2Π≤2Πk/3≤-Π/2          | *   3/(2Π)

-3≤k≤-3/4

k = -3; -2 ; -1

 

Ответ: x= Π/18+Πk/9; k€Z   или x=  2Πk/3; k€Z

 ( +2 ) 
20.12.2012 17:30
Комментировать

В ответах решением является 2πn/3;  π/18 + πn/9  и 17 корней

 ( +2 ) 
20.12.2012 22:19
Комментировать

Спасибо!!!!!

 ( +958 ) 
11.04.2013 21:23
Комментировать

             Задания ЕГЭ       С1 с решениями                       

Тригонометрические уравнения. Страница Админа.

http://www.postupivuz.ru/vopros/5567.htm

Хочу написать ответ