Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Решение логарифмических и показательных уравнений с отбором корней. Задания 13 (С1) на ЕГЭ 2016.

создана: 21.04.2016 в 10:17
................................................

 ( +847 ) 

:

1. log2(8/x) -log2√(2х) = -0,5.

Решение.

log2(8/x) -log2(2х)1/2 = -0,5

log28  -logx - (log21/2 +log2 x1/2)  = -0,5

3 -log2 x -1/2 -1/2 log2 x = -1/2

1,5 log2x =3

log2 x = 2

Ответ: x=4

 ( +847 ) 
30.03.2015 00:13
Комментировать

№ 2.  Решите логарифмическое уравнение

         log2(3+2x-x2)*sin√x=0   

б) укажите корни, принадлежащие промежутку (-1;1).

Решение.

а) ОДЗ:  х≥0

          3+2х-х2>0

х2-2х-3<0    x=3   x=-1

____________-1////////////////3_______________    

_______________0//////////////////////////////////

[0; 3) - ОДЗ

1) 3+2x-x2=1    

x2-2x -2=0      D=4+8=12   x=(2±2√3)/2 =1±√3

x1=1+√3    x2=1-√3 <0  вне ОДЗ

2) sin√x=0     √х=пk,   k€Z      x=п2k2  

k=0  x=0

k=±1  x=п2 >3  - вне ОДЗ

k=±2   x=4п2      и т.д  

б) Указанному промежутку принадлежит один корень х=0, т.к. 1+√3>1.

Ответ: а) х= 1+√3;   x=0,  б) 0.

 ( +847 ) 
30.03.2015 00:19
Комментировать

№ 3. Решите показательно-логарифмическое уравнение:

         х^(log3 x2) - 3^(log32 x)  = 6x

б) укажите корни, принадлежащие промежутку (0;5)

Решение.

х 2log3x - 3log3x *log3x = 6

log3x *2 - xlog3= 6

(xlog3x )2 - xlog3x = 6                делаем замену  хlog3x =a

a2-a-6=0     a=3   a=-2(не подходит, т.к. а>0)

 хlog3x = 3     логарифмируем по основанию 3

log3 хlog3x  =3

(log3x)2=3

log3x = ±√3          x1=3√3      x2=3- √3=1/3√3

б) Т.к. 1/3√3 <1, а 3√3 >6, то промежутку (0;5) принадлежит корень х=1/3√3.

Ответ: а)  x1=3√3,   x2=1/3√3     б) 1/3√3.

 ( +847 ) 
30.03.2015 00:30
Комментировать

№ 4.   Решите логарифмическое уравнение  с модулями:

           logп lx2-1l = log (п) lxl

б) отберите корни, принадлежащие промежутку [-0,5; 5].

a) logп lx2-1l = 2 log п lxl 

 lx2-1l =  lxl 2      

ОДЗ:  х не равен 0, х не равен ±1

 lx2-1l =  lx2|

1) х2 -1=х2     решений нет

2) 1-х2 = х2

2 = 1

х2=1/2

х= ±1/√2

б) Т.к. -1/√2 = -√2/2 ≈-0,7,  а 1/√2≈0,7, то промежутку [-0,5; 5] принадлежит корень 1/√2.

Ответ: а) ±1/√2,  б) 1/√2. 

 ( +847 ) 
30.03.2015 00:34
Комментировать

№ 5.  Решите показательное уравнение     4cosx + 1/4cosx = 5/2.

          Укажите корни, принадлежащие отрезку (п; 2п).

а)  Пусть 4cosx = a,  а>0 тогда

а+1/a =5/2        (умножим на 2а)

2a2 -5a +2 = 0

D= 25-16=9

a1=(5+3)/4=2   a2=(5-3)/4=1/2

т.к. 4cosx = 22cosx   то

22cosx= 21   2cosx=1    c0sx =1/2     x=±п/3+2пk

22cosx= 2-1   2cosx=-1    c0sx =-1/2     x=±2п/3+2пk

Можно объединить эти решения:  х=±п/3+пk,  k€ Z

б)  п + п/3 = 4п/3

     2п - п/3 = 5п/3

Ответ:  а) ±п/3 +пk;   б)  4п/3; 5п/3.

 ( +847 ) 
30.03.2015 00:50
Комментировать

№ 6. а) Решите логарифмическое уравнение   log(x3-2x2+1) - log9(x-1)= 0 .

б) Укажите корни, принадлежащие  [log4; √5]

1) ОДЗ:  х3-2х2+1 >0

         x≠1

Разложим х3-2х2+1 на множители. 

х322+1=х2(х-1) -(х2-1)= (х-1)(х2-х-1) > 0

корни х=1,  х=(1+√5)/2

Т.о. ОДЗ:  ((1-√5)/2; 1) U ((1+√5)/2; +∞)

log9(x-1)(x2-x-1)/(x-1)2 =0

log9(x2-x-1)/(x-1)=0

(x2-x-1)/(x-1)=1

x2-x-1=x-1

x2 -2x=0

x(x-2)=0

x=0;  x=2        Оба корня входят в ОДЗ.

б) log54 < log55 =1,   а √5>2,  значит х=2 попадает в указанный промежуток, а х=0 не попадает.

log54 < 2 <√5

Ответ:2

 ( +847 ) 
17.03.2016 23:57
Комментировать

№ 7.   logx+1(x3-16x+25) * logx-1(x+5) = 4

Решение.

Заметим сразу, что х>1 и х≠2.

Попробуем решить неравенство в целых числах. Т.к. правая часть 4, то приравняем каждый логарифм к 2.  Получим систему:

logx+1(x3-16x+25) =2   

logx-1(x+5) = 2

Решим второе уравнение.   х+5 = (х-1)2

х+5 = х2 - 2х +1;     x2-3x -4 = 0;

x= -1 < 1 (не удовл. допустимым значениям).

х= 4

Подставим в первое ур-ие х=4.

log5(43-16*4+25) =2  

log5 25 = 2 - верно, значит х=4 - корень исходного уравнения.

Можно (и нужно) доказать, что это корень единственный.

f(x) = logx+1(x3-16x+25) -возрастает при х>2

g(x)= logx-1(x+5) - возрастает при х>3, значит при х>3  f(x) и g(x) имеют только 1 корень х=4.

При хС(2;3) целых решений не может быть.

Ответ: 4.

 ( +847 ) 
11.04.2016 10:28
Комментировать

№  8.  log3 (3x4+42) = 1+log√3 √(13x2+2).

Укажите корни, принадлежащие отрезку [-5/4; 2].

Решение.

1) Т.к (3x4+42) >0 при всех х,   (13x2+2)>0  при всех х, то исходное уравнение равносильно

log3 (3x4+42) = log33 + log(13x2+2).

3(x4+14) = 3(13x2+2)

x4+14=13x2+2

x4-13x2+12=0       Пусть х2=а, тогда а2-13а+12=0

                            а=1, а=12

х2=1, откуда х=±1

х2=12, откуда х=√12=±2√3

2) Т.к. -2√3< -5/4 <-1 < 2 < 2√3, то отрезку [-5/4; 2] принадлежат корни -1 и 1.

Ответ: а) ±1; ±2√3,  б) ±1.


 

3 * 4 |x| - 14*2 |x| +8=0

Решение Centurio на стр.   http://postupivuz.ru/vopros/18845.htm

Хочу написать ответ