Обозначим через х исходную сумму вклада, через у - во сколько раз увеличивается сумма ежемесячно в соответствии с процентной ставкой. Тогда после первого месяца сумма будет х·у, после второго месяца х·у·у, и т.д. Через год сумма будет равна х·у¹² руб. Так как доход через год составил бы 165 руб., то можно записать следующее уравнение:

1) х·у¹²=х+165

Однако, через полгода пенсионерка сняла 100 руб. Значит, сумма на книжке стало х·у⁶-100 руб. Тогда ещё через полгода сумма будет равна (х·у⁶-100)·у6, что по условию составляет 420 руб. Отсюда второе уравнение:

2) (х·у⁶-100)·у6=420

Сделаем замену переменной t=у⁶ и перепишем уравнения:

1) х·t²=x+165

2) (х·t-100)·t=420

Преобразуем второе уравнение:

xt²-100t=420 - подставим вместо xt² выражение из первого уравнения:

x+165-100t=420

100t=x-255

t=(x-255)/100 - подставим в первое уравнение:

x((х-255)/100)²=х+165

х(х-255)²=10000х+1650000

х(х²-510х+65025)=10000х+1650000

х³-510х²+65025х=10000х+1650000

х³-510х²+55025х-1650000=0

Получилось кубическое уравнение. Методом подстановок решать его долго, поэтому лучше решить с помощью формул Кардано. В результате получатся три корня х₁=55, х₂=80, х₃=375

Если подставить первые два корня в выражение для t, то t получится отрицательным. Но t характеризует процентную ставку, а она не может быть отрицательной. Следовательно, остаётся только значение 375.

Ответ: исходная сумма вклада составляла 375 руб.