№ 2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  9^х + 2(а+1)·3^х + 5 - а = 0 не имеет корней.

Решение.  

Пусть 3^х =t, t>0,  тогда исходное уравнение примет вид t² + 2(a+1)t + 5 - a = 0   (*).

Исходное уравнение не имеет корней, если уравнение (*) не имеет корней, либо корни есть, но они неположительны (т.е. получим, что  t<=0).

Рассмотрим оба случая.

1)  уравнение (*) не имеет корней, если D<0.

D/4 = (a+1)² - 5a = a² + 3a - 4 < 0   -->  (a-1)(a+4) < 0  -->  aC (-4: 1).

2) уравнение (*) имеет только неположительные корни t1 и t2, если выполняется система:

D≥ 0,

t1 + t2 ≤  0,

t1*t2 ≥ 0.                 Применим теорему Виета, получим

                                 (a - 1)(a + 4) ≥ 0

                                  - 2(a+1) ≤ 0

                                  5 - a ≥ 0

Решением системы будет аС [1; 5].

Объединяя оба решения, получим аС (-4; 5]  - это ответ.