Задачи из тренировочных вариантов ЕГЭ 2013-2021.

№ 3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06.
Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки.
Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение.   Вероятность того, что взятая наугад батарейка исправна, равна 1-0,06 = 0,94

Р = 0,94*0,94 - вероятность, что и первая и вторая исправны

Ответ: 0,8836

№ 4. Автоматическая линия изготавливает батарейки.
Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02.
Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля.
Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99.
Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

Решение.

Вероятность, что готовая батарейка исправна равна 1-0,02=0,98 

Р1= 0,02*0,99 = 0,0198 - вероятность, что неисправную батарейку забракуют

Р2= 0,98*0,01 = 0,0098 - вероятность, что исправная батарейка будет забракована

Р=Р1+Р2 = 0,0296

Ответ: 0,0296

№ 5 Вероятности того, что деталь определенного типа
находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9.
Найти вероятности того, что эта деталь находится не более, чем в трех ящиках.

Решение. Не более, чем в 3-х ящиках означает, что деталь находится в одном,
двух или трех ящиках. Противоположное событие - деталь находится во всех четырех ящиках.
Найдем вероятность этого противоположного события.

Р1 = 0,6*0,7*0,8*0,9 = 0,3024, тогда Р = 1- Р1 = 1 - 0,3024 = 0,6976

Ответ: 0,6976

№ 6. Вероятность того,  что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей,
будет  бракованной  равна  0,2.    Найти  вероятность того, что из  трех  взятых  деталей 
2 окажутся не бракованными.

Решение. Вероятность, что деталь бракованная равна 0,2, что деталь без брака равна 1-0,2=0,8.

Р1= 0,2*0,8*0,8 = 0,128 - вероятность того, что первая деталь бракрованная, а вторая и третья нет.

Р2=0,8*0,23*0,8 = 0,128 - вторая бракованная, аналогично Р3=0,128 - третья бракованная.

Р = Р1+Р2+Р3 = 3*0,128 = 0,384

Ответ: 0,384

№ 7. На  рисунке  изображён  лабиринт.  Паук  заползает  в  лабиринт  в  точке  «Вход».
Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает
путь,  по  которому  ещё  не  полз.  Считая  выбор  дальнейшего  пути  случайным,
определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D. ( из трен. вар. 19)

Решение. Исход - выбор направления на разветвлении. 

 На первом разветвлении у паука  есть 2 варианта - пойти направо или налево,

вероятность каждого 1/2. С вероятностью 0,5 он поползет к выходу D.

Ответ: 0,5

№ 8. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу А. (Из трен. вар. 23)   

Решение. На каждом разветвлении вероятность выбора направления равна 0,5. К выходу А есть 2 пути. На одном - паук делает выбор 5 раз, а на втором -  3 раза, с вероятностью 0,5 каждый раз.

Р = 0,5⁵ +0,5³ = 0,5³(0,25+1) = 0,125*1,25 = 0,15625

Ответ:  0,15625

№ 9. Механические  часы  с  двенадцатичасовым  циферблатом  в  какой‐то  момент 

сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла,

достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. (Из трен. вар. 22)

Решение.  Благоприятный диапазон -  3 промежутка (10-11, 11-12, 12-1), весь диапазон -  12 промежутков.

Р = 3/12 =1/4=0,25

Ответ:  0,25

№ 10. Всем  пациентам  с  подозрением  на  гепатит  делают анализ крови. Если анализ 

выявляет  гепатит,  то  результат  анализа  называется положительным.  У  больных 

гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если 

пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат 

с  вероятностью  0,01.  Известно,  что  5%  пациентов,  поступающих  с  подозрением  на 

гепатит,  действительно  больны  гепатитом.  Найдите  вероятность  того,  что  результат 

анализа  у  пациента,  поступившего  в  клинику  с  подозрением  на  гепатит,  будет 

положительным  (Из трен. вар 24)

Ответ:  0,0545

Решение.

Вероятность того, что поступивший болен гепатитом равна 0,05, а что  не болен - равна 0,95.

Умножаем в каждом случае на вероятность положительного результата: 0.9 для больного и 0,01 для здорового. 

Р= 0,05*0,9 + 0,95*0,01 = 0,0545

№ 11. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек,
которые должны идти в село за продуктами.
Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию.
Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин? 

Решение. Представьте 5 бумажек, на двух написано "да", остальные пустые.

Какова вероятность вытянуть билетик с "да"?   2/5=0,4

Решение(2-й способ). Исход - выбор 2-х человек из 5.

Количество исходов С₅² = 5!/(2!*3!) = 5*4/2 = 10.

Благоприятный исход: Турист А с кем-то в паре. Таких исходов 4.

Р = 4/10 = 0,4

№ 12.  Перед началом футбольного матча судья бросает монетку,
чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик»
играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх
«Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение. В одной игре команда "Физик" имеет 2 исхода: начинает игру или начинает не она.
Т.к. игр три, то всего исходов 2³=8.

Будем обозначать благоприятный исход - 1, не благоприятный 0.

Для трех игр расстановка исходов такая:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Среди них благоприятных 3:  011, 101, 110.

Р=3/8 = 0,375.

№ 13.  Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2.

На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. 

Вероятность того, что пистолет пристрелянный равна 0,4, что  не пристрелянный - 0,6.

Вероятность попасть в муху из пистолета, если он пристрелянный, равна 0,4*0,9=0,36.

Вероятность попасть в муху, если пистолет непристрелянный,  равна 0,6*0,2=0,12.

Вероятность попасть из любого пистолета:  0,36+0,12=0,48.

Вероятность промаха Р=1-0,48=0,52

№ 14. В классе 21 учащийся, среди них две подруги - Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение.  8769.htm

№ 15.  При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение. Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить её при первом или втором или ...  k-м выстреле.

Будем вычислять вероятность уничтожения при k-м выстреле, задавая значения k=1,2,3... И суммируя полученные вероятности

k=1     P=0,4                S=0,4

k=2     P=0,6*0,6=0,36  - при первом выстреле промах, при втором цель уничтожена      

S=0,4+0,36=0,76

k=3     P=0,6*0,4*0,6 = 0,144 - цель уничтожена при третьем выстреле

S=0,76+0,144=0,904

k=4     P=0,6*0,4*0,4*0,6= 0,0576 - при 4-м

S=0,904+0,0576=0,9616

k=5     P=0,6*0,4³*0,6 = 0,02304

S=0,9616+0,02304=0,98464    -  достигли нужной вероятности при k=5.

Ответ:  5.

№ 16.  Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение.  4 очка и больше в двух играх  можно набрать такими способами: 

3+1   выиграла, ничья

1+3   ничья, выиграла

3+3   оба раза выиграла

Вероятность выигрыша равна 0,4, проигрыша - 0,4, вероятность ничьей равна 1-0,4-0,4 = 0,2.

Р = 0,4*0,2 + 0,2*0,4 + 0,4*0,4 = 2*0,08+0,16 = 0,32

Ответ: 0,32

№ 17.  На сборку поступают детали с двух автоматов: с первого – 70%, со второго – 30%. При этом незначительные дефекты с первого автомата в 10% случаев, а со второго – в 20%. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь имеет незначительный дефект.

Решение.  Пусть всего х деталей, тогда с 1-го станка поступило 0,7х деталей и среди них 0,7х*10%=0,7х*10/100=0,07х с дефектами.

Со второго станка поступило 0,3х деталей и среди них 0,3х*20/100=0,06х с дефектами.

Всего в партии деталей с дефектами 0,07х+0,06х=0,13х.

По формуле классической вероятности Р= 0,13х/х=0,13

Ответ: 0,13

№ 18.  В магазин поступают изделия с 4-х фабрик. 1-я, 2-я, 3-я, 4-я поставляют соответственно 10, 20, 30, 40 %.  Среди изделий 1, 2, 3, 4-й фабрик соответственно 0,08, 0,08, 0,05, 0,06 бракованных. Найти вероятность того, что купленное изделие является качественным.

Решение. Вероятность купить изделие 1-й фабрики 10% или 0,1, вероятность, что оно качественное равна 1-0,08=0,92.

Вероятность купить качественное изделие первой фабрики Р1=0,1*0,92=0,092.

Аналогично, вероятность купить качественное изделие 2-й фабрики равна

Р2= 0,2*(1-0,08)=0,184.

Р3=0,3*(1-0,05)=0,285     - 3-й

Р4=0,4*(1-0,06)=0,376     - 4-й

Вероятность купить качественное изделие равна сумме вероятностей:

0,092 + 0,184 + 0,285 + 0,376=0,937

№ 19.  В аквариуме из 12 рыбок 4 золотых. Какова вероятность того, что из случайно отловленных 3-х рыбок 1 золотая?

Решение. В аквариуме 4 золотые рыбки, 8 - обычные. Исходом считаем выбор трех любых рыбок, а благоприятным исходом - выбор одной золотой рыбки и двух простых.

Найдем количество благоприятных исходов.

Количество способов выбрать 1 золотую рыбку из 4-х равно 4.

Количество способов выбрать 2 простые рыбки из 8 равно С₈²=8!/(2!*6!) = 8*7*6*5*4*3*2*1/(2*6*5*4*3*2)= 8*7/2=28. Всего благоприятных исходов m=4*28=112.

Количество всех исходов n=C₁₂³ = 12!/(3!*9!) = 12*11*10/(1*2*3)=220.

P= m/n = 112/220 = 0,509... ≈ 0,51