Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Геометрическая вероятность. Задачи с решениями.

создана: 17.05.2013 в 00:33
................................................

 ( +2744 ) 

:

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

1.   Пусть отрезок CК лежит на отрезке АВ. На отрезок АВ наудачу поставлена точка. Это означает, что поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка АВ, вероятность попадания точки на отрезок СК не зависит от его расположения относительно отрезка АВ и вычисляется по формуле

Р = длина СК / длина АВ.

А________С______К_______________В

 

2.  Пусть плоская фигура М составляет часть плоской фигуры А.

На фигуру А наудачу брошена точка. Это означает, что брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры А. Вероятность попадания брошенной точки на фигуру М  не зависит ни от ее расположения относительно А, ни от формы фигуры М. Вероятность попадания точки в фигуру М определяется равенством

Р = Площадь М / Площадь А.

 ( +2744 ) 
24.11.2011 20:52
Комментировать

Задачи.

 № 1. В квадрате АВСД случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции АМСД, где точка М :

а) середина стороны ВС;

б) делит отрезок СB в отношении 1:2, считая от точки B;

в) делит отрезок ВС  в отношении m:n, считая от точки В.

Решение а):

      P = SAMCD / SABCD  

S AMCD   = (a+0,5a)*a/2 = 1,5a2 / 2 = 0,75a2
S ABCD = a2

P = 0,75 a2 / a2 = 0,75

 


Решение б):

Р     BM : MC = 1: 2;   MC = 2/3 a.

S AMCD = (a+ 2/3 a) * a /2 = 5/3 a2 /2 = 5/6 a2
P = (5/6)a2  / a2 = 5/6 ≈ 0,83

Решение в):  

 BM : MC = m:n

S= (n/(m+n)*a+a) *a/2= (an / (n+m) +a(n+m)/(n+m) ) *a/2 =

= (an+an+am)/(n+m)  *a/2 = 0,5a2 (2n+m) / (n+m)

P = 0,5(2n+m) / (m+n)

 ( +2744 ) 
25.11.2011 00:11
Комментировать

№ 2. 

В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того что эта точка принадлежит  вписанному в круг квадрату;

Решение: 

Пусть сторона квадрата равна а, тогда его диагональ d=а√2 является диаметром описанной окружности, ее радиус равен R= d/2 = a√2 /2.

P = Sквадр. / Sкруга = а2 / (пR2)  = a2 / (п*2a2 /4) = 2/п = 2 / 3,14 ≈ 0,64 .

 


 

№ 3. В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того что эта точка принадлежит вписанному в круг равностороннему треугольнику.

Решение.

Пусть сторона равностороннего 3-ка равна а. Тогда его площадь равна SΔ= a2√3/4.

Радиус описанной окружности равен Rоп= а/√3. Sкруга = п*Rоп2 = па2 /3.

Вероятность попадания точки в треугольник равна

Р = SΔ / Sкруга = (а2√3/4) / (пa2/3) = 3√3 /(4п) ≈ 0,41

 ( +2744 ) 
25.11.2011 00:13
Комментировать

№ 4. В прямоугольнике со сторонами 6 и 20 см  нарисованы два непересекающихся круга диаметром 3 см каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника:

а) не принадлежит ни одному из этих кругов;

б) не принадлежит какому-нибудь одному из этих кругов.

Решение а):

S - площадь прямоугольника.  S =6·20 = 120

S1 - площадь фигуры, полученной из прямоугольника после того, как из него вырезали 2 непересекающихся круга.  

S1 = S - 2* 3,14 R2 = 120 - 2*3,14* 9/4 = 120 - 14,13 = 105,87

P = 105,87 / 120 ≈ 0,88


 

Решение б):

Если точка не принадлежит только одному из кругов, то она принадлежит либо второму кругу, либо оставшейся части прямоугольника S1. Площадь для благоприятного попадания точки в этом случае рана   S - пR2 = 120 - 3,14*9 /4= 112,935

P= 112,935 / 120 ≈ 0,94

Как видите, вероятность попадания  в этом случае больше, т.к. площадь для благоприятного попадания больше.


 

№ 5.

Буратино посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 20 см на 25 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил еще одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Первая клякса, радиусом 1 см, закрашена красным цветом.

Контурами показаны возможные расположения второй кляксы - в случае касания первой и второй.

Видим, что кляксы касаются тогда, когда вторая попадет в кольцо, образованное окружностью радиусом 3 см и окружностью радиусом 1 см. Кляксы не должны также пересекаться

Значит, вторая клякса не должна попать в круг, радиусом 3. Найдем площадь круга.

S круга = п*32  = 9п см2 

Благоприятным считаем исход, когда кляксы не имеют общих точек.

В этом случае область для попадания  - прямоугольник с вырезанным кругом. Найдем площадь этой фигуры S1.

S1 = 20*25 - 9п = 500-9п

Вероятность Р = S1 / S прямоугольника = (500-9*3,14) / 500 ≈ 0,94

 ( +2744 ) 
26.02.2012 00:17
Комментировать

№ 6.

В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

Решение.

Пусть сторона квадрата а.

Тогда радиус вписанного круга равен 0,5а.

Вероятность равна отношению площади круга к площади квадрата.

Р = пR2 /a2 = п*0,25a2 /a2 = 0,25п.

№ 7.

Точка А брошена в прямоугольник со сторонами 1 и 2. Найдите вероятность того, что расстояние от А до до ближайшей к ней стороны не превосходит X.

Решение.    http://postupivuz.ru/vopros/11686.htm

 ( +1 ) 
27.02.2012 21:33
Комментировать

Добрый вечер! Помогите разобраться с задачей! 11 класс - контрольная. Что-то похожей задачи даже не встречал.

Внутри параллелограмма ABCD с острым углом 600, случайным образом выбрана точка. Какова вероятность того, что она расположена ближе к вершине А, чем к вершинам В и D, если диагональ параллелограмма делит его  тупой угол на части в отношении 1:3?

 ( +1 ) 
27.02.2012 21:53
Комментировать

Вроде появилась мысль!!!! Верно ли? Тупой угол разбился на два угла - 300 и 900. Если бы случайная точка была равноудалена от вершин А, В, и D, то она была бы центром описанной окружности около прямоугольного треугольника ABD. Значит нам необходимо, чтобы она попала на половину отрезка AD (ближе к А). Тогда если длина отрезка AD = а, его половина  - 1/2а. Может вероятность - это отношение 1/2а к а?

 ( +2744 ) 
03.03.2012 14:02
Комментировать Верное решение
(баллы:+1)

Продолжим вашу мысль. Действительно, на отрезке АО (не включая граничную точку О) любая точка ближе к А. 

На отрезке АМ любая точка ближе к А. ( М - середина АВ).

ОМ - медиана равностороннего 3-ка АВО.  Любая точка на ОМ равноудалена от точек А и В.

А любая точка из 3-ка АМО ближе к А (не включая точки, лежащие на ОМ).

Р= SAOM / SABCD

SAOM= SABD / 4;  SABCD= 2SABD;

P= 1/8

 ( +1 ) 
01.03.2012 17:25
Комментировать

Знатоки! Пожалуйста, Подскажите! Верна ли хоть мысль!!!!!!

 ( +1 ) 
04.03.2012 12:44
Комментировать

Спасибо! Как много еще надо понять!

 ( +15 ) 
14.02.2014 15:44
Комментировать

 Помогите .пожалуйста, решить задачу на геометрическую вероятность!   Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой у= 4- х2  и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит выше прямой  у= х+2 ?

 ( +2744 ) 
30.04.2014 19:46
Комментировать

Какова вероятность, что случайно выбранное решение неравенства x2-x ≥ 0 будет решением неравенства │x-0.5│≥0?

Решение.

Решение первого нер-ва - промежуток от [0; 1]. А решение второго - (-∞; -0,5] U [0,5; +∞)

Общее решение двух неравенств - [0,5; 1] - благоприятные исходы содержатся в этом промежутке, его длина 0,5.

Все исходы (решения первого неравенства) - промежуток [0;1], его длина равна 1.

Вероятность равна отношению длин.  Р=0,5/1=0,5 

 
23.09.2014 00:10
Комментировать

Помогите пожалуйста решить задачу.

Коэффициенты p и q квадратного уравнения x2+px+ q= 0 принадлежат отрезку
[0;2]. Какова вероятность того, что данное квадратное уравнение имеет
действительные корни

 
20.12.2014 05:33
Комментировать

Здравствуйте! Помогите разобраться с задачей, пожалуйста.

В квадрат наудачу бросают  две точки. На полученном отрезке как на диаметре строят круг. Найти вероятность того, что этот круг целиком лежит внутри квадрата.

 ( +2744 ) 
21.04.2015 01:22
Комментировать

Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых меньше 7 и х меньше у. Найти вероятность, что их разность находится в промежутке (3;4).

Каждую пару чисел х и у будем рассматривать как точку с координатами (х;у). Точки, координаты которых меньше 7 и положительны, будут находиться внутри квадрата со стороною 7. Из этих точек берем те, которые удовлетворяют условию у>х, это точки, которые лежат выше диагонали квадрата, т.е. выше прямой у=х (серая область).

Рассмотрим разность у-х:

у-х>3   y-x<4

Найдем область внутри треугольника, удовлетворяющую условиям:

у>x+3;

y>x+4.

Эта область заключена между прямыми у=х+3 и у=х+4 и ограничена катетами треугольника.

Чтобы найти вероятность, нужно площадь этой области (розовой) разделить на площадь серого треугольника.


Вычисляем площадь розовой фигуры. S1 =SACB - SOCK = 4*4/2 - 3*3/2 = 3,5

SΔ=7*7/2=49/2.

Р = S1/SΔ =3,5/(/2)49= 1/7 ≈ 0,143.

 

 
04.10.2015 20:01
Комментировать

Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что |x|<=2, |y|<=5. Какова вероятность того, что дробь x/y окажется отрицательной?

Помогите пожалуйста

Хочу написать ответ