Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА
все темы
все уроки
создана: 19.02.2016 в 20:17 ................................................
liliana :
Решение логарифмических неравенств (высокий уровень).
№ 1.
ОДЗ: х≠0, х>-1,5
Покажем, что 3^(log2x2) = |x|^log29 (*)
Преобразуем правую часть этого равенства
3^(log2x2) = |x|^(2*log23)
3(log2 x^2) = (x2) log23
Логарифмируем обе части по основанию 2:
log2 3 (log2x^2) = log2 (x2)log23
(log2x2)*log23 = log23 *log2 (x2) - получили верное равенство, значит, равенство (*) тоже верно.
В исходном неравенстве во втором слагаемом сделаем замену. Получим
3(log2x^2) +2*3(log2x^2) ≤ 3* 3log2(2x+3)
3*3(log2x^2) ≤ 3* 3log2(2x+3)
log2x2 ≤ log2(2x+3)
x2 -2x -3 ≤ 0 x1=-1, x2=3
____+______-1///////-///////////3____+_______ <- решение нер-ва
______-1,5/////////////0////////////////////////////// <- ОДЗ
Ответ: [-1; 0) U (0;3]
№ 2.
ОДЗ: x>0; x>0
x≠1 x≠1
x2+x-2≥0 => (x+2)(x-1)≥0 => x>1
x2+x+1>0 x C R
1) При х>1 logx 3>0. Делим обе части нер-ва на logx3:
logx(√(x2+x-2)+1) *log7(x2+x+1) ≤ 1
logx3
log3(√(x2+x-2)+1)*log7(x2+x+1) ≤ 1
2) Обозначим √(х2+х-2) = t, t≥0 (1)
Тогда получим log3(t+1) * log7(t2+3) ≤ 1
Слева произведение возрастающих функций.
Очевидно, что при t=2 выполняется равенство log33*log77=1,
а при t>2: log3(t+1)>1 и log7(t2+3)>1,
значит произведение логарифмов не может быть меньше 1 при t>2.
Тогда t≤2. Учитывая (1): t≥0, имеем t C [0;2].
3) Возвращаемся к переменной х.
0 ≤ √(x2+x-2) ≤ 2
х2+х-2 ≤ 4 => x C [-3;2], учитывая ОДЗ, получим
х С (1;2] <- ответ
log52(x+2) + log5(x+2) -2 ≤ 0
Заметим, что х> -2 (*)
Сделаем замену а=log5(x+2)
a2+a-2≤0 a=-2, a=1
__+___-2____-___1____+______
-2 ≤ a ≤1
Решим систему:
log5(x+2) ≤1 x+2≤ 5 х≤3 учитывая (*), получим -2 ≤ x≤3
log5(x+2)≥ -2 х+2≥ 5-2 х≥ -2+ 1/25
Общее решение системы: [-2+1/25; 3]
Ответ: [-1,96; 3]
№ 4. log х-3(x2-12x+36) ≤ 0
ОДЗ: х2-12х+36>0, (x-6)2>0, --> x≠6
x-3 >0, x>3,
x-3≠1. x≠4.
(3;4) U (4;6) U (6;+∞)
Решаем неравенство.
1) Пусть х-3>1, т.е. x>4, x≠6.
x2-12x+36≤ (x-3)0
x2-12x +35 ≤0; D=144--4*35=4 x1=(12-2)/2=5, x2=(12+2)/2=7
_______+________5______-________7_______+_________
решение там, где -, включая точки 5 и 7. [5;7].
А учитывая, что х>4 и х≠6, получим
[5;6) U (6;7]
2) Пусть х-3<1, т.е. x<4. Учитывая ОДЗ, хС(3;4).
x2-12x+36≥ (x-3)0
x2-12x +35 ≥0; x1=5, x2=7
решение x≤5 и х≥7 .
А учитывая, что хС(3;4), решение хС(3;4).
Ответ: (3;4) U[5;6) U [6;7]
ОДЗ: х≠-2; x>-5
lg2 (x+2)2(x+5)/5 - lg2 (x+5)/20 < 0
Дальше представить как разность квадратов.
[lg (x+2)2(x+5)/5 - lg (x+5)/20 ]*[lg (x+2)2(x+5)/5 + lg (x+5)/20 ] < 0
lg [4(x+2)2] * lg [(x+2)2(x+5)2/100] < 0
lg [2(x+2)]2 * lg [(x+2)(x+5)/10]2 < 0
2lg[ 2|x+2|] * 2lg [|x+2|(x+5)/10] < 0
lg (2|x+2|) * lg (|x+2|(x+5)/10) < 0 (2)
Решаем методом интервалов.
Приравниваем логарифмы левой части неравенства (2) к 0 и находим знаки в промежутках.
1) При х> -2 2(х+2)=1 ->x=-1,5
(x+2)(x+5)/10=1 -> x^2+7x=0 x=0 x=-7-не уд. ОДЗ
2) При x<-2: -2(x+2)=1 -> x=-2,5
-(x+2)(x+5)/10=1 -> x^2+7x+20=0 - решений нет (D<0)
Наносим корни, а также -5 и -2 на числовую ось и расставляем знаки.
-5____-___-2,5___+____(-2)___+____-1,5____-____0____+_________
Получили промежутки
(-5;-2,5), (-1,5;0) - ответ.
Скажите пожалуйста, в какое уравнение подставлять значение, чтобы расставить знаки на оси?
В неравенстве (2) каждый логарифм приравниваем к 0, и для каждого логарифма раскрываем модуль с плюсом и с минусом.
Решение PRIPYAT на странице --> http://postupivuz.ru/vopros/18836.htm
(81х+2*25xlog5 3 -5)/(4x-1)2 >= 0
ОДЗ: х≠1/4
Упростим 25xlog5 3 = (25log53)x = 9x
Получим (92x +2*9x -5) / (4x-1)2 ≥ 0
при условии х≠1/4 знаменатель положителен.
Следовательно, исходное неравенство равносильно системе:
92x +2*9x -5 ≥ 0
х≠ 1/4
Дальше замена 9х=а, а>0
а2 + 2а -5 ≥ 0 и т.д.
a1=-1-√6 a2=-1+√6
//////////////a1____________a2///////////////
__________________0////////////////////////
a≥ -1+√6
9x ≥ -1+√6
x ≥ log9(-1+√6), учтем х≠ 1/4 1/4= log9 √3 > log9(-1+√6)
(log9(-1+√6) ; 1/4) U ( 1/4; +∞ ) - ответ
Больше заданий 15 (неравенства С3) смотрите на сайте в теме
