Базовый уровень по математике с решениями. Задание 19. ЕГЭ
liliana :
В задании 19 базового уровня предложены задачи на тему "Делимость натуральных чисел". Чтобы решить такую задачу, надо хорошо знать признаки делимости натуральных чисел.
Признаки делимости.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1000.
1. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.
2. Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.
3. Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
4. Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.
5. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
6. Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.
7. Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.
8. Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.
9. Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.
10. Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры -нули.
11. Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. (Например, 12364 делится на 11, т.к. 1+3+4=2+6.)
Задание 19 (1). Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Решение.
Разложим число 20 на слагаемые различными способами:
1) 20 = 9 + 9 + 2
2) 20 = 9 + 8 + 3
3) 20 = 9 + 7 + 4
4) 20 = 9 + 6 + 5
5) 20 = 8 + 8 + 4
6) 20 = 8 + 7 + 5.
Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9?
Замечаем, что, если в разложении 2 числа делятся на 3, то сумма квадратов на 3 не делится.
92+92+22 не делится на 3
При разложении способами (1)−(4) суммы квадратов чисел не делятся на 3.
При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9.
Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, числа 578 или 587 или 785 и т.д.