Функция возрастает на тех промежутках, на которых ее производная у'(х)≥0.

у = x³ + 3ax;       y' = 3x² +3a ≥ 0     -->   x² + a ≥ 0      -->   x² ≥ -a.

В последнем неравенстве  левая часть неотрицательна, значит, чтобы неравенство было верным для всех х, необходимо, чтобы  -а ≤ 0,   т.е. a ≥ 0.

Ответ: а ≥ 0.   

Похожая задача  -->  http://www.postupivuz.ru/vopros/3122.htm

Решение 1): пусть одно число х, тогда другое 46-х, составим функцию 

S(х) = (46-x)³ + x³  .     Найдем наименьшее значение функции на промежутке (0;46).

S'(x) = -3(46-x)² +3x² = 0

(46-x)² =x² ;      46-x = x;   46=2x;   x=23 

Ответ: 23 и 23.

примечание: на вопрос, почему в экстремальной точке х=23 находится min, отвечаем, что справа от х=23 производная имеет знак минус, а справа от этой точки — имеет знак плюс, т.е. слева ф-ия убывает, а справа от х=23 - возрастает.

2) S(x)= x + 1/x - сумма числа и обратного ему, х не равен 0.

S'(x)= 1 - 1/x² =0        -->  x²=1;  x=±1

1.Область определения: x≠3,          х=3 - вертикальная асимптота.

2. y>0  

3. y'= e^1/(x-3) *((x-3)^-1)' = – e^1/(x-3) / (x-3)²

y'≠0   -->  экстремальных точек нет

Функция убывает на всей области определения, т.к.у'<0 при всех х..

4. lim y        =   +∞

    x->3+ε

5. lim y      = 0

    x-> 3-ε

6. lim y = 1

    x->+∞

7. lim y = 1

    x->-∞

у = 4-х -(4/х²)

у'=-1 -4*(-2/x³) = -1 + 8/x³  =0;   8/x³ = 1;  x=2 - критическая точка,  принадлежит указанному промежутку

у(1) = 4-1-4 = -1 - наименьшее значение.

у(4)= 4-4 -4/16 = -0,5 

у(2)= 4-2-4/4 = 1  - наибольшее значение.

Как записывать ФОРМУЛЫ на сайте    http://postupivuz.ru/vopros/5716.htm

Отредактируй условие.

 f(x)=1/2x+cosx;    f '(x) = 1/2 - sinx = 0

sinx=1/2;  x=П-П/6 = 5П/6

f(П/2) = П/4 +сosП/2 = П/4 ≈ 0,785  - наибольшее

f(П) = П/2 - 1 ≈ 0,57

f(5П/6) = 5П/12 + cos(П-П/6) = 5П/12 -√3/2 ≈ 0,44   - наименьшее

f(x) = 81x-x⁴        [-1; 4]

f '(x) = 81 - 4x³ =0;       x³ =81/4;   x0=³√ (81/4) = 3 ³√(3/4) - экстремальная точка

Найти f(-1), f(4) ,  f(x0) и сравнить.

Слева от х0 f(x) возрастает, а справа от х0 убывает. В точке х0 - наибольшее зачение   f(х0)=243*³√(3/4) - (81/4)^4/3 = ...

f(-1)=-82 - наименьшее

f(4)=81*4-256= 68

1) Сначала ОДЗ.   4х-х²≥ 0   -->   xC [0; 4]

2) Вычислим значения функции на концах промежутка.

f(0) = 8

f(4) = 8 -2*4³ + 3*16 = -72 

3) Найдем критическую точку. Для этого раскроем модуль.

Определим знак выражения (1):  √(4x -x²) - 8.

√(4x -x²)  ≥ 0, под корнем квадратичная функция, её график парабола у=-х²+4х,

ветви вниз, вершина параболы х0=-4/(-2)= 2,

значит, в точке х0=-2 наибольшее значение выражения (1):

√(4*2 - 2²) - 8 = √(8-4) -8 = 2-8= -6 <0

Поэтому модуль раскрываем со знаком минус.

f(x) = -(√(4x-x²) - 8) +√(4х-х²) - 2x³+ 3x² = -2х³+3х² +8

f′(x) = -6x² +6x = 0,    6x(-x+1) =0

Получим х=1, x=0 - критические точки. f(1)= -2+3+8 = 9

Таким образом   f(4) = -72 - наименьшее значение.

 y=2^xˆ2-8x+20 -12

Стандартный способ.

у' = 2^{x^2-8x+20} *(2x - 8)*ln2 = 0   -->  2x-8 = 0  -->  x=4 - точка экстремума.

Определим знаки в интервалах. Заметим, что ln2>0, 2^{x^2-8x+20} >0

у'   ___-_____4___+_____

 y         \         Xmin       /

Получили Хmin=4,  ymin = 2^16-32+20 -12 = 4

ymin - это и есть наименьшее значение функции, т.к. слева от х=4 функция убывает, а справа от х=4 возрастает.

Ответ: 4.

№ 1. f(x)=X³-x²-x+3;    f '(x) = 3x² -2x-1 = 0;

x=(2±4)/6;  x1 = -1/3;  x2 = 1 - экстремальные точки (или стационарные). Но х= -1/3 не принадлежит [0; 5].

Вычислим :  f(0) = 3

f(5) = 125-25-5+3 = 98 - наибольшее

f(1) = 1-1-1+3 = 2 - наименьшее

№ 2. График функции у = 3х - х²  - парабола, ветви вниз. Координаты вершины:

х0= 1,5;  у0= 4,5-2,25= 2,25

Касательная параллельная оси ОХ, проходит через вершину параболы, т.е. через точку (1,5;  2,25). Уравнение касательной у=2,25.

№ 3.

В условии е^{х-5 .} Надо писать или степень или брать в скобки.

y=(X² -7x +7) e^{x - 5}     [4;6]

y' = (2x-7)e^x-5 +  (X² -7x +7) e^x-5 = 0

e^x-5(2x-7+x²-7x+7) = 0

e^x-5 не равно 0. Тогда то, что в скобках, равно 0.

х² - 5х =0;  х(х-5)=0   

х=0 (критическая точка,  не входит в заданный отрезок)

х=5 - критическая точка, входит в  [4;6]

у(4)=

у(5)= подставь в функцию у        х=5 получишь ответ   (25-35+7)е⁰ = -3

у(6)=

y=ln7 +lnx -7x +7

y' = 1/x  -7  =0

1/x = 7;   x=1/7   - принадлежит отрензку.

y(1/7) = ln 1 -7*1/7 +7 = 0-1+7= 6 - наибольшее

y(1/14) = ln 0,5 -0,5+7

у(5/14)= ln(2,5) - 2,5+7

Можно не вычислять ln 0,5 и ln 2,5. Т.к. эти числа не являются конечными. А такие ответы в бланках не пишутся.

y'= 4x³ - 36x

4x³ - 36x=0

4x(x² - 9)=0

4x=0   или   x=+\- 3

x=0        

f'(-4)= 256-288+30= -2

f'(-3)= 81-162+30= -51 - наименьшее

f'(3)= 81-162+30= -51

f'(0)=0-0+30= 30 - наибольшее

А у тебя есть ответ? я не гарантирую что это верно.

№ 1. у' = 4/cos²x - 4 =0 cos²x = 1;  cosx= ±1;  x=∏k,  kC Z

На заданном промежутке только одна критическая точка х=0.

у(0) = 4*0 -4*0 + ∏ - 6 = ∏ - 6

у(∏/4) = 4*1 -4*∏/4 + ∏ - 6 = 4-6= -2   - наибольшее значение

у(-∏/4) = -4 + 4*∏/4 + ∏ - 6 = -10+2∏

у'= 2cosx - (2x - 7)'cosx + (2x - 7)(-sinx)

у'= 2cosx - 2cosx + (2x - 7)(-sinx)

у'= 7sinx - 2xsinx

7sinx - 2xsinx =0

sinx(7 - 2x) =0

sinx =0 или                 7 - 2x =0

x =Пk, где k-целое     -2x =-7

                                  x=3,5   

Так же решается?

у'=10/(x+3)-4=0;   x=-0,5

y(-2)=10ln1 +8+2=10 - наименьшее

y(-0,5)=10ln 2,5+2+2 ≈ 10*0,9 +4 = 13

ln2,5 < ln e = 1

y=9^{-34+12x-x^2}

y=9^t - возрастающая, поэтому наибольшее значение функция принимает при наибольшем t.

t(x)= -34+12x-x²

t'=12-2x;  x=6 -точка максимума

у(6) = 9^-34+12*6-6*6= 9² = 81

y′= (-2x+8) / [(1+8x-x²)·ln8)] = 0

-2x+8=0;  x=4 - точка экстремума

y′   _____+_______4_________-______

          /                  max                

xmax = 4

f(x)=x³-3x²-2

f'(x)=-3x²-6x=0

-3x(x+2)=0;      x=0,   x=-2 - экстремальные точки

f(0)=-2 - наибольшее

f(2)=8-12-2 = -6 -наименьшее

1. f(x) = (3x+1)(3x-1) = 9x² -1

f'(x) = 18x;   f'(-2) = 188(-2)=-36

2) f(x) = sin2x-cos3x;  f'(x) = 2cos2x +3sin3x   

ОДЗ: х≠1   на [0;3] f(x) - непрерывна.

f'(x)= 36/(х-1)² +2х = 0

36 + 2х(1-2х +х²) = 0;      х³ -2х²+х+18 = 0   -->  x=-2 - критическая точка.

f(-3) = 18

f(-2) =16 - наименьшее

f(0) = 36   - наибольшее

y=2x-tg x     на (-pi/2; pi/2)

y' = 2 - 1/cos²x = 0

1/cos²x=2;   cos²x = 1/2;   cosx=± 1/√2

x= ± pi/4   (берем решения только на указанном интервале)

получили 2 точки экстремума;

определим знаки производной:

рi/2_____-______-pi/4_________+_________pi/4______-________pi/2

             ↓                                ↑                                ↓                                

y(x) убывает там, где производная имеет знак минус и возрастает там,  где  плюс.

-pi/4 - точка минимума          

pi/4 - точка максимума

если надо, вычисли уmin=y(-pi/4),   ymax=y(pi/4)

Я пытаюсь самостоятельно решить,проверьте пожалуйста правильно начинаю решение.

y'=5x^4- (5'*3-3'*5)/(3^2)*3x^2=5x^4-3x^2

Срочно надо

а) 4х-3х²

б) -1/х² +2

в) если то, что в скобках, не под корнем, то F(x)=x^3/2 -3x^2,5     (раскрыли скобки)

F'(x)= 3/2 *x^1/2 -3*2,5x^1,5 = 1,5√x -7,5x√x

г) F(x)= (5x+8)/(3x-2)

F'= (5(3x-2)-3(5x+8)) / (3x-2)² = -34/(3x-2)²

У'=1- 2/√x =0

x=4 -критическая точка

вычисли у(1)=1-4+5=2 - нибольшее

у(4)=4-8+5=1 - наименьшее

у(9)=9-12+5=2 - наибольшее

Функцию можно записать в более простом виде: у= 3^{(1+х^2)}

Функция вида у=3^t - возрастающая, поэтому наибольшего значения она достигает, когда t- наибольшее, а наименьшего значения достигает при наименьшем t.

t=1+x²   

Очевидно, что при х=0   t-наименьшее, значит наим. значение у=3¹⁺⁰=3

При х-->∞    t=1+x² -->∞,   значит у--> +∞, наибольшего значения не существует.

2-й способ (через производную).

у'=3^{1+x^2*}ln3 * 2x = 0  --> x=0 - критическая точка

_______-_____0_____+____

Производная меняет знак с минуса на плюс --Ю х=0 - точка минимума

хmin= y(0)=3

у' = ((1/x) *x -1-lnx)/x² = -lnx /x² = 0

lnx=0    x=1 - точка экстремума

y(1)=(1+ln1)/1 = (1+0)/1 = 1 - наибольшее

y(e) = (1+ln e)/e  = 2/e ≈0,74

y(1/e) = (1+ ln(1/e)) /(1/e) = (1-1) /(1/e) = 0 - наименьшее

f(x)=x³-6x²+9          на отрезке [-2;2]

f'(x)=3x²-12x=0;     3x(x-4)=0;

x=0   x=4 - критические точки, отрезку принадлежит х=0.

f(0)=9 - наибольшее

f(-2)= -8-6*4+9=-23 - наименьшее

f(2)= 8-24+9=-7 

y'=2(x+4)*e^x-4 +(x+4)²*e^x-4 = 0

(x+4)*e^x-4*(2+x+4)=0

(х+4)(х+6)=0

x=-6.  х=-4 - точки экстремума

у' ___+____-6____-______-4____+______

                xmax                xmin

xmax=-6 - точка максимума

y=2x^2-9x+7

у′ =4х-9 = 0      4х=9    х0=9/4=2,25 - точка экстремума

4х-9>0     x>9/4   при х>2,25 функция возрастает

при х<2,25 функция убывает

В точке х=2,25 производная меняет знак минуса на плюс,

значит х0=2,25 - точка минимума.

схема  y′(x) ___-_______2,25___+_________

           y(x)          ↓            min       ↑

x0=2,25 - точка минимума

хотя это очевидно, т.к. график функции - парабола, ветви направлены вверх,

в вершине - минимум.