Задания В6

№ 1. В треугольнике АВС   АС=ВС=10, АВ=2√19. Найдите синус внешнего угла при вершине В 

           C

        /   |   \                       

     /      |      \

 A____O_____B____________  D              

cos /  B  = OB / BC = √19 /10

sin / B = корень( 1 - cos² / B)= корень (1 - 19/100) = 9/10

sin / CBD = sin (180° - / B) = sin / B = 0,9

№ 2.  Найти синус внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, если косинус внешнего угла при основании равен 1/3?

Решение.   Пусть угол при вершине равен х, а при основании равен а. Тогда внешний угол при основании равен 180°-a.    Тогда cos(180-a)= -cos a = -1/3 -->  cos a=1/3.

угол x=(180-2a).  sinx = sin(180-x) - синусы внешнего и внутреннего углов при вершине равны.

Найдем sinx = sin(180-2a) = sin2a = 2 sina*cosa.

cosa = 1/3,  sina = √(1-cos²a) = √(1-1/9) = √(8/9)=2√2 /3

sinx = 2*2√2 /3/3 = 4√2 /9

№ 3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона равна 1.5,
а sinA=0.6. Найдите длину основания.

Решение.

              B

         /          \

     A       O       C              

AB=1,5    sinA=0,6     AC-?

BO-высота    В 3-ке AOB  BO/AB=sinA      BO=AB*sinA=1,5*0,6=0,9   

AO²= 1,5² - 0,9² = 2,25-0,81= 1,44        АО=1,2    АС=1,2*2=2,4

Ответ: 2,4

№ 4.   Площадь ромба равна 48 см². Найти: площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.

                               Дано Sромба = 24.  Найти  S _KLMN  

S ромба = AC*BD /2

S _KLMN = KL*KN

KL - средняя линия 3-ка  ABD  -->  KL= BD/2

KN - средняя линия 3-ка  ABC  -->  KN= AC/2

S _KLMN = KL*KN = BD/2*AC/2 = (AC*BD/2)/2 = S ромба /2 = 48/2 = 24.

Ответ: 24.