Два велосипедиста с постоянными скоростями стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы. Через 10 минут после старта один из велосипедистов в первый раз догнал другого. Через какое время после старта первый велосипедист во второй раз догонит другого? Ответ дайте в минутах. 

Решение.

Обозначим длину трассы 2S, а её половину  S. За 10 минут первый проходит (S+x) км и догоняет второго, а второй проходит только х км. Оказавшись в одной точке, велосипедисты продолжают движение.

За следующие 10 минут второй пройдет х км, а первый -  (S+х) км, расстояние при этом между ними будет S+x -x=S, т.е. они окажутся в диаметрально противоположных точках трассы, как и во время старта. Значит, первый велосипедист догонит второго через 10 минут после этого.

После старта до второй встречи пройдет 10+10+10=30 минут.

Ответ: 30

Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?

Решение. Пусть скорость первого тела х м/мин, а второго у м/мин, и пусть длина окружности равна L.Тела начинают двигаться одновременно из одной точки.

За 112 мин первое тело пройдет дугу 112х, а второе 112у.

Причем, второе проходит окружность + дугу 112х.    Уравнение  112у - 112х =L    (1)

При движении в противоположных направлениях : 16у + 16х = L   (2)   

40 - 26 = 14 метров тела прошли навстречу друг другу за 12сек=1/5  мин  :   12(х + у) = 14    (3)

Вычтем из (1) - (2). Получим          96у -128х = 0    -->  3у = 4х  -->   х= 3у/4.

Подставим в (3):   1/5 *(3у/4 +у) =14     у=40,     х=30   - скорости тел. 

Из (2) найдем L:  16(у+х) = 16(40 + 30) = 1120     - длина окружности.

Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг.

Решение.

Пусть длина окружности равна S метров (в этой задаче и спорте её называют круговой лыжней и кругом).

Пусть первый лыжник проходит 1 круг за х минут, тогда второй - за х+2 минуты.   Скорость первого лыжника S/x м/мин, а второго S/(x+2) м/мин.

За 1 час первый проходит 60*S/x метров, а второй 60*S/(x+2) метров. А т.к. первый проходит на 1 круг больше, т.е. на S метров, то получаем уравнение:

60·S/x - 60·S/(x+2) = S,    разделим обе части на S.

60/x - 60(x+2) =1   -->   x² + 2x - 120 = 0    -->   x=10  (х=–12 не удовл. усл.)

Первый проходит круг за 10 минут, а второй за 12.       Ответ: 12.