1) Рассмотрим очевидное равенство:

(2 - 2.5)² = (3 - 2.5)²

Отсюда, извлекая квадратный корень, имеем:

2 - 2.5 = 3 - 2.5

Прибавляем к обеим частям этого равенства по 2.5, получаем, что 2 = 3. Где ошибка?

2) Вот доказательство того, что 2=1:

1. 1=1
2. Одну единицу обозначаем за Х, вторую за У, получается Х=У;
3. Умножаем обе части тождества на Х, получаем Х²=ХУ;
4. Из обеих частей тождества отнимаем У², получаем Х² - У²=ХУ - У²;
5. Правую часть раскладывем как разность квадратов, а в левой выносим У за скобку, получаем: (Х-У)(Х+У)=У(Х-У);
6. Сокращаем обе части на (Х-У), получаем: Х+У=У
7. Подставим вместо Х и У единицы, получим: 1+1=1, т.е. 2=1.

Где здесь ошибка?

3)  Кто прав: учитель или ученик?

  В Древней Греции существовали школы софистов, где молодые люди могли обучаться красноречию, ораторскому искусству и юридическим наукам.
Рассказывают, что к одному учителю-софисту Протагору однажды явился юноша по имени Эватл и обратился к учителю с просьбой сделать из него хорошего оратора, так как он жаждет выступить в каком-нибудь судебном процессе в качестве защитника или обвинителя.

Протагор согласился, но с условием, что Эватл заплатит ему за обучение 20 монет, причем половина этого гонорара должна быть уплачена немедленно, а другая половина - по окончании обучения, да и то только в том случае, если Эватл выиграет тот судебный процесс, в котором он выступит впервые.
Юноша согласился и стал ежедневно посещать Протагора, проявляя во время занятий удивительные способности и воспринимая все, что преподавал ему учитель.
Так дело шло до тех пор, пока наконец Протагор не объявил, что курс обучения вполне закончен, и Эватл может смело выступить на суде.
Но тут произошло то, чего никак не ожидал мудрый учитель.

- Знаешь что? - заявил Эватл. - Я своевременно заплатил тебе половину условленного гонорара, но второй половины, по-моему, я имею полное право не платить!
- Это почему же? - удивился Протагор.
- На основании закона и нашего договора, - ответил Эватл.
Протагор возмутился.
- Но ведь я подам на тебя в суд, - сказал он, - и ты принужден будешь будешь там защищаться. Что же касается приговора судей, то мне, в сущности, безразлично, присудят ли они тебя к уплате гонорара или нет, потому что и в том, и в другом случае мне вернёшь требуемые деньги.

- Это каким же образом? - удивился в свою очередь Эватл.
- Очень просто! Если судьи скажут, что ты должен уплатить мне вторую половину гонорара, то ты будешь обязан сделать это на основании приговора суда. Если же суд откажет мне в иске, другими словами, если ты выиграешь свой первый судебный процесс, то ты заплатишь мне ту же сумму на основании заключенного между нами договора. Видишь - я прав!

В первую минуту Эватл был смущен такими, по-видимому, неопровержимыми доводами своего учителя, но затем, сообразив что-то, воскликнул:
- Ничего подобного! Я буду иметь право не платить тебе ни в том, ни в другом случае! И вот почему: если судьи скажут, что я обязан заплатить тебе гонорар полностью, то есть другими словами, если я проиграю свой первый судебный процесс, то я не заплачу тебе денег на основании нашего с тобой договора! Если же суд решит, что я не должен платить тебе, то я и не заплачу ничего на основании приговора суда?

Кто же прав: учитель или ученик?

4) Утверждение Эпименида
 
По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит?

5) Расставьте скобки и математические знаки так, чтобы равенство было верным:
      9999999 = 100

6) Сколько было денег?

Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег да ещё 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся да ещё 1 рубль. После этого денег у крестьянина не осталось. Сколько рублей у него было первоначально?

7) Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

1000!    - это сколько?

8) Лихие казаки
  

Два молодых казака, оба лихие наездники, часто бились между собой об заклад, кто кого перегонит. Не раз то тот, то другой был победителем, наконец, им это надоело.
- Вот что, - сказал Григорий, - давай спорить наоборот. Пусть заклад достанется тому, чей конь придёт в назначенное место вторым, а не первым.
- Ладно! - ответил Михаил.

Казаки выехали на своих конях в степь. Зрителей собралось множество: всем хотелось посмотреть на такую диковинку. Один старый казак начал считать хлопая в ладоши:
- Раз!.. Два!.. Три!..
Спорщики, конечно, ни с места. Зрители стали смеяться, судить да рядить и порешили, что такой спор невозможен и что спорщики простоят на месте, как говорится, до скончания века.

Тут к толпе подошёл седой старик, видавший на своём веку разные виды.
- В чём дело? - спрашивает он.
Ему сказали.
- Эге ж! - говорит старик, - вот я им сейчас шепну такое слово, что поскачут, как ошпаренные...
И действительно... Подошёл старик к казакам, сказал им что-то, и через полминуты казаки уже неслись по степи во всю прыть, стараясь непременно обогнать друг друга, но заклад всё же выигрывал тот, чья лошадь приходила второй.
Что сказал старик?

ответы и решения!!!!!!!!!!!

1)

Ответ: При извлечении корня квадратного из обеих частей возможного равенства получаем неверный результат. Так как при любом значении а справедливо sqrt(а^2) = |а|, то правильным следствием должно быть верное равенство |2 - 2.5| = |3 - 2.5|, а из него следует |-0.5| = |0.5|, а вовсе не равенство 2 - 2.5 = 3 - 2.5

2) Ответ: В пункте 6, при сокращении на (Х-У), необходимо обе части разделить на данную разность. Но подставив в нее значения Х и У, равные 1, мы получим 0, а на 0, как известно, делить нельзя.

3) Ответ: Это "софизм Эватла". Если решать вопрос, кто из них прав, учитель или ученик, то придется ответить, что ни тот, ни другой, так как оба рассуждали логически неправильно; тот и другой, доказывая свою правоту, опирались то на приговор суда, то условия своего договора.

4) Ответ: Эпименид - легендарный греческий поэт, живший на Крите в VI в. до н. э. Он-то и был первым Рипом ван Винклем: по преданию, Эпименид проспал 57 лет.
Если предположить, что Эпименид солгал, то отрицанием утверждения "все критяне лжецы" будет утверждение "существует хоть один не лжец", причем это не Эпименид. В таком виде это будет верное утверждение.

5) Ответ: (99-9):9 + (99-9) = 100
(99-99)* 999 = 10*0
999/9-99/9=100
(9*9+9)/9+99-9=100
(99-9)/9+(9-9)*9=10-0
(9*9+9)/9+(9-9)*9=10-0
99/99+(9-9)*9=1+0+0
(9*9+9)/9-9+9-9=1+0+0

6) Ответ: Перед приходом к третьему купцу у крестьянина был 1 рубль и ещё столько же - всего 2 рубля. Перед приходом ко второму купцу у него было 2 + 2 = 4 рубля и ещё столько же - всего 8 рублей. Наконец, перед приходом к первому купцу крестьянин имел 8 + 1 = 9 и ещё столько же; значит, первоначально у крестьянина было 18 рублей.

7) Ответ: Число заканчивется 249 нулями. Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения чисел 2 и 5 - других вариантов нет. Эти числа являются множителями, на которые раскладываются перемножаемые в факториале целые числа. Очевидно, множителей 5 будет меньше множителей 2. Значит, количество нулей определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, ..., 1000 - всего их насчитывается 1000:5 = 200. Два множителя содержат числа 25, 50, ..., 1000, всего их 1000:25 = 40. Три множителя содержат 1000:125 = 8 чисел, а четыре - только одно число 625. Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем общее их количество: 200+40+8+1 = 249. Столько нулей в конце факториала

8) ответ: пересядьте (т.е. поменяйтесь лошадьми).

1 ) склад !Предстоит построить склад у одного из километровых столбов на дороге таким образом, чтобы недельный пробег автомобилей с товарами был минимальным.



Для обслуживания пункта А требуется 8 поездок в неделю.
Для обслуживания пункта Б требуется 4 поездки в неделю.
Для обслуживания пункта В требуется 7 поездок в неделю.
Для обслуживания пункта Г требуется 6 поездок в неделю.
В какой точке выгоднее всего построить склад?