Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Задачи на минимакс

создана: 09.02.2014 в 13:45
................................................

 ( +2760 ) 

:

Из круглого бревна диаметром d=30 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения
с основанием b и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh2.
При каких значениях b и h прочность балки будет наибольшей?

Решение.

Прямоугольное сечение вписано в круг, диаметром 30. 2 стороны прямоугольника и диагональ образуют прямоугольный 3-к. По т. Пифагора b2 + h2 = 302.

Пусть b=x, тогда h2 = 900 - x2.         x>0

Функция прочности Р(х)= x(900 - x2) = 900х - х3

P'(x) = 900 - 3x2 = 0

x2 = 300 ;   x=10√3  - экстремальная точка. Можно показать, что это точка максимума.

Слева от нее P'>0 (P возр.), а справа P'<0 (Р убывает).

b=10√3;   h2 = 900-300=600;  h=10√6

 ( +2760 ) 
28.12.2012 16:46
Комментировать

Водоотводный канал  в поперечном сечении прямоугольник площадью 2 м2. При каких размерах сечения на его облицовку пойдёт наименьшее количество материала?

Решение. Пусть ширина сечения х м, тогда высота  2/х м.

Количество материала на облицовку зависит только от периметра поперечного сечения. Длина канала - постоянная величина. Составим функцию периметра.

Р(х) = 2(х+2/х)               Ограничения на х: х>0.

Найдем наименьшее значение функции Р(х).

Р'(х) = 2(1 -2/x2) = 0

1= 2/x2 ;  x2 =2  ;       х=√2 - экстремальная точка. Покажем, что это точка минимума функции.

При   0<х<√2  P'(x)<0 -->P(x) убывает,  

а при х>√2  P'(x)>0 --> Р(х) возрастает,         значит  х=√2 - точка мнимума.

x=√2 - ширина;  2/√2 = √2 - высота сечения.

Ответ: в сечении канала квадрат со сторонами, равными √2.

 ( +2760 ) 
28.12.2012 17:06
Комментировать

Среди прямоугольных треугольников, у которых сумма длин трех сторон равна 20, найти треугольник наибольшей площади.

Решение.

Пусть катеты х и у, тогда гипотенуза равна 20-(х+у).

По т. Пифагора: х2 + у2 = (20 - (х+у))2

х2 + у2 = 400 - 40(х+у)  + (х+у)2

400 - 40х - 40у + 2ху = 0

у = 20(х-10)/(х-20)

Составим функцию площади 3-ка:  S(x) = 0,5xу = 0,5х*20(x-10)/((x-20)

S(x) = 10* (x2 -10x) / (x-20)

Найдем наибольшее значени функции на промежутке (0; 20).

Находим производную и критические точки.

S'(x) = 0.  (2x-10)(x-20) -(x2 - 10x) = 0

x2 - 40x + 200 = 0

x= 20+10√2  - не принадлежит (0;20)

х = 20 - 10√2  - единственная критическая точка, принадлежащая отрезку.

Можно показать, что в этой точке максимум  S(x).

Подставив х в у, получим, что у=20-10√2.

Т.о. х=у.

Равнобедренный 3-к с катетами, равными  20 - 10√2 будет иметь наибольшую площадь.

 ( +2760 ) 
28.12.2012 17:30
Комментировать

Число 64 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого и квадрата второго была наименьшей. В ответе запишите большее из слагаемых.

Решение. Пусть числа будут  х  и   64-х. Пусть 64-х - первое число, а х - второе (можно наоборот, но так проще).

Составим функцию, задающую сумму первого числа и квадрат второго.

S(x) = (64-x) + х2S(x)=x2-x+64.   

Графиком S(x) является парабола, ветви вверх, функция имеет наименьшее значение в точке х0=-(-1)/2 = 0,5 Т.о. одно число 0,5, а второе 64-0.5 = 63.5

Можно решать и через производную (2-й способ).

Найдем наименьшее значение функции.

S'(x) = -1+2x = 0  -->  2x=1:   x=0,5   Производная меняет знак в т. 0,5 с минуса на плюс, значит, х0 - точка минимума.

Ответ: 0,5  и  63,5

 ( +2760 ) 
28.12.2012 17:44
Комментировать

Надо изготовить бак объемом 50м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H), чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Решение.   V = пR2H = 50  -->   H = 50/(пR2).   Составим функцию площади поверхности цилиндра.

S=2пRH + 2пR2 = 2пR* 50/(пR2) + 2пR2 = 100/R + 2пR2

S(R) = 100/R + 2пR2 ,    найдем точку минимума функции S(R) на интервале (0; +∞).

S'(R) = -100/R2 + 4пR = 0   -->  R3 = 25/п,   R1= (25/п)1/3  — критическая точка функции.

S'   0             –          R1             +                          R1 - точка минимума функции.

S(R)     убывает                возрастает

При R = R1   высота бака будет     H = 50 / (п(25/п)2/3)  

После преобразований                Н = 10/(5п)1/3 , а радиус бака R= (25/п)1/3

 ( +2760 ) 
27.05.2013 05:51
Комментировать

Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки если радиус сечения равен 20 см.

Решение Centurio.   http://postupivuz.ru/vopros/11707.htm

Решить задачу, используя экстремум целевой функции.
На прямой между двумя источниками света силы F и 8F найти наименее освещенную точнку, если расстояние между источниками 24 метра. Освещенность E точки обратно пропорциональна расстоянию её от источика света.

Решение Centurio.   http://postupivuz.ru/vopros/13190.htm

 ( +2760 ) 
09.02.2014 12:47
Комментировать

Число 46 представьте в виде суммы 2 положительных чисел так, чтобы сума кубов этих чисел была наименьшей

Решение.    S(х) = (46-x)3 + x3  .     Найдем наименьшее значение функции на промежутке (0;46).

S(x) = -3(46-x)2 +3x2 = 0

(46-x)2 =x2 ;      46-x = x;   46=2x;   x=23 

Ответ: 23 и 23.

примечание: на вопрос, почему в экстремальной точке х=23 находится min, отвечаем, что справа от х=23 производная имеет знак минус, а справа от этой точки — имеет знак плюс, т.е. слева ф-ия убывает, а справа от х=23 - возрастает.

 


Какое число, сложенное с обратным ему, даст наименьшую сумму?

Решение. S(x)= x + 1/x - сумма числа и обратного ему, х не равен 0.

S(x)= 1 - 1/x2 =0        -->  x2=1;  x=±1


Площадь прямоугольного участка 144см2. При каких размерах участка длина окружающего его забора будет наименьшей?.

Решение. Пусть стороны участка х и у. Тогда площадь ху=144  -->  y=144/x.

Составим функцию периметра:  Р=2(х+у), тогда Р(у) = 2(х+144/x), где    0<х<+∞

Найдем наименьшее значение этой функции.

P(y) = 2(1 -144/x2 ) = 0

144/x2 = 1;  x2 =144;  x=12 - критическая точка (точка минимума,  т.к. производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через х0=12)

y    ______-___________12__________+_________

y        y(x)   убывает      хmin             у(х)  возрастает  

y = 144 / 12 = 12.

Получили, что длина и шириина участка равны 12, т.е. наименьший периметр будет у квадратного участка.

 ( +2760 ) 
26.05.2014 13:14
Комментировать

Определите наименьшее значение периметра прямоугольного треугольника, если его площадь равна 8 см2.

Решение.   Пусть катеты равны х и у.

ху/2=8    ху=16    

стороны 3-ка х и 16/х

Гипотенуза:   с22+256/х2        с=√(х4+256) /х

Составим функцию периметра: P(x)= х +16/х + √(х4+256) /х

Найдем наименьшее значение функции Р(х) на промежутке (0; +∞)

Р'(х)= 1  -16/х2 + [(2х/√(х4+256)  - √(х4+256)] / x2 = 0

Р'(х)= 1  -16/х2 + (х4-256) /(х2√(х4+256) ) = 0

приведем первые 2 слагаемых к общему знаменателю:

2-16)2 + 2-16)2+16)/(х2*√(х4+256) = 0

2-16) * (1/х2 + (х2+16) / ( х2*√(х4+256) ) = 0

получаем х2=16

х=4, у=4 - катеты 3-ка с наименьшим периметром

P'(x)    0____-_____4_______+_____

P(x)          убыв     хmin           возр

 ( +2760 ) 
16.01.2017 20:05
Комментировать

Три грани прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной покрасили в три цвета: одну грань – в красный, другую – в синий, третью – в белый. Найдите наибольшее значение объема такого параллелепипеда, если сумма площадей красной и синей граней равна 297, а периметр красной грани на 6 меньше периметра белой грани.

Решение PRIPYAT

http://postupivuz.ru/vopros/19163.htm

Хочу написать ответ