Как пользоваться Поиском

поиск по сайту
логин

пароль

регистрация     
забыли пароль?

Помощь сайту

Задание 15 на ЕГЭ 2016. Решение логарифмических неравенств.

создана: 19.02.2016 в 20:17
................................................

 ( +2712 ) 

:

Решение логарифмических неравенств (высокий уровень).

 ( +2712 ) 
17.02.2015 20:52
Комментировать

№ 1.

ОДЗ:   х≠0,  х>-1,5

Покажем, что 3^(log2x2) = |x|^log29    (*)

Преобразуем правую часть этого равенства

3^(log2x2) = |x|^(2*log23)

3(logx^2) = (x2) log23

Логарифмируем обе части по основанию 2:

log(log2x^2) = log2 (x2)log23

(log2x2)*log23 =  log23 *log2 (x2)  - получили верное равенство, значит, равенство (*) тоже верно.

В исходном неравенстве во втором слагаемом сделаем замену. Получим

3(log2x^2) +2*3(log2x^2) ≤ 3* 3log2(2x+3)

3*3(log2x^2)  ≤ 3* 3log2(2x+3) 

log2x2 ≤ log2(2x+3)

x2 -2x -3 ≤ 0    x1=-1, x2=3

____+______-1///////-///////////3____+_______      <-  решение нер-ва

______-1,5/////////////0//////////////////////////////     <- ОДЗ

Ответ:   [-1; 0) U (0;3]

 ( +2712 ) 
17.02.2015 20:54
Комментировать

№ 2.

logx(√(x2+x-2)+1)*log7(x2+x+1) ≤ logx3

ОДЗ: x>0;                         x>0

        x≠1                           x≠1

    x2+x-2≥0           =>    (x+2)(x-1)≥0                        =>    x>1

    x2+x+1>0                   x C R

1) При х>1   logx 3>0. Делим обе части нер-ва на logx3:

logx(√(x2+x-2)+1)      *log7(x2+x+1)    ≤ 1

     logx3

log3(√(x2+x-2)+1)*log7(x2+x+1) ≤ 1

2) Обозначим √(х2+х-2) = t,   t≥0 (1)

Тогда получим   log3(t+1) * log7(t2+3) ≤ 1

Слева произведение возрастающих функций.

Очевидно, что при t=2 выполняется равенство log33*log77=1,    

а при t>2:    log3(t+1)>1  и log7(t2+3)>1,

значит произведение логарифмов не может быть меньше 1 при t>2.

Тогда  t≤2.   Учитывая (1):  t≥0,  имеем  t C [0;2].

3) Возвращаемся к переменной х.  

0 ≤ √(x2+x-2) ≤ 2

х2+х-2 ≤ 4     =>    x C [-3;2],  учитывая ОДЗ, получим

       х С (1;2]     <-  ответ

 ( +838 ) 
30.03.2015 00:37
Комментировать

№ 3. log52(x+2) ≤ 2 - 1/2 log5(x+2)2

log52(x+2) + log5(x+2) -2 ≤ 0

 Заметим, что х> -2     (*)

Сделаем замену а=log5(x+2)

a2+a-2≤0           a=-2,  a=1

__+___-2____-___1____+______

   -2 ≤ a ≤1  

Решим систему:

log5(x+2) ≤1         x+2≤ 5   х≤3     учитывая (*), получим        -2 ≤ x≤3   

log5(x+2)≥ -2      х+2≥ 5-2                                                       х≥ -2+ 1/25

Общее решение системы:    [-2+1/25; 3]

Ответ:   [-1,96; 3]

 ( +838 ) 
19.02.2016 20:14
Комментировать

№ 4. log х-3(x2-12x+36) ≤ 0

ОДЗ: х2-12х+36>0,             (x-6)2>0,   -->  x≠6

        x-3 >0,                        x>3,

        x-3≠1.                         x≠4.

(3;4) U (4;6) U (6;+∞)

Решаем неравенство.

1) Пусть х-3>1, т.е. x>4,   x≠6.

x2-12x+36≤ (x-3)0

x2-12x +35 ≤0;     D=144--4*35=4      x1=(12-2)/2=5,  x2=(12+2)/2=7

_______+________5______-________7_______+_________

решение там, где -, включая точки 5 и 7.  [5;7].

А учитывая, что х>4 и х≠6, получим

[5;6) U (6;7]

2) Пусть х-3<1, т.е. x<4.  Учитывая ОДЗ, хС(3;4).

x2-12x+36≥ (x-3)0

x2-12x +35 ≥0;          x1=5,  x2=7

_______+________5______-________7_______+_________

решение    x≤5  и х≥7 .

А учитывая, что хС(3;4), решение   хС(3;4).

Ответ: (3;4) U[5;6) U [6;7]

 ( +2712 ) 
11.04.2016 10:37
Комментировать

№ 5.  lg(x+2)2(x+5)/5 <  lg(x+5)/20

ОДЗ:  х≠-2;  x>-5

lg(x+2)2(x+5)/5 -  lg(x+5)/20 < 0

Дальше представить как разность квадратов.

[lg (x+2)2(x+5)/5 -  lg (x+5)/20 ]*[lg (x+2)2(x+5)/5 +  lg (x+5)/20 ] < 0

lg [4(x+2)2] * lg [(x+2)2(x+5)2/100] < 0

lg [2(x+2)]2 * lg [(x+2)(x+5)/10]2 < 0

2lg[ 2|x+2|] * 2lg [|x+2|(x+5)/10]  < 0

lg (2|x+2|) * lg (|x+2|(x+5)/10)  < 0

Решаем методом интервалов. Приравниваем логарифмы к 0 и находим знаки в промежутках.

1) При х≥-2      2(х+2)=1  ->x=-1,5

                        (x+2)(x+5)/10=1  -> x^2+7x=0    x=0    x=-7-не уд. ОДЗ

2) При x<-2:   -2(x+2)=1  ->  x=-2,5

                      -(x+2)(x+5)/10=1   ->  x^2+7x+20=0  - решений нет (D<0)

Наносим корни, а также -5 и -2 на числовую ось и расставляем знаки.

-5____-___-2,5___+____(-2)___+____-1,5____-____0____+_________

Получили промежутки

(-5;-2,5),  (-1,5;0) - ответ.

 ( +2712 ) 
11.04.2016 10:43
Комментировать

13 log1/13lgx^2 < (1/10) lglog13x^2

Решение    PRIPYAT     на странице -->   http://postupivuz.ru/vopros/18836.htm

 ( +2712 ) 
25.06.2016 22:40
Комментировать

(81х+2*25xlog5-5)/(4x-1)>= 0

ОДЗ: х≠1/4

Упростим   25xlog5 3 = (25log53)x = 9x

Получим   (92x +2*9x -5) / (4x-1)2 ≥ 0

при условии х≠1/4 знаменатель положителен.

Следовательно, исходное неравенство равносильно системе:

92x +2*9x -5 ≥ 0

х≠ 1/4

Дальше замена  9х=а,   а>0

а+ 2а -5 ≥ 0          и т.д.

a1=-1-√6            a2=-1+√6

//////////////a1____________a2///////////////

__________________0////////////////////////

a≥ -1+√6

9x ≥ -1+√6

x ≥ log9(-1+√6),  учтем х≠ 1/4           1/4= log9 √3 > log9(-1+√6)

(log9(-1+√6) ; 1/4) U ( 1/4; +∞ )  - ответ

Хочу написать ответ