у' = 3x² +12,  очевидно, что у'>0  для всех х. Значит,  функция у(х) возрастает на всей области определения.  Тогда у(х) достигает наименьшего значения на левом конце отрезка, т.е. в точке х=-5.

у( –5) = ( –5)³ + 12·( -5) + 6 = –125 –60 +6 = –179.

y' = -12sinx +6√3 = 0,   sinx= √3/2,   на заданном отрезке решение единственное: х=п/3.

y(0)=12+0-2√3п+6 = 18 – 2п√3 ≈18 - 10,88 = 7,12

у(п/3) = 12·0,5 + 6√3·п/3 – 2√3п + 6 = 12 — наибольшее значение.

у(п/2) = 0+6√3·п/2  -2√3п+6 = 6+п√3 ≈6+5,44 =11,44

Ответ: 12.

у′ = 12/cos² x -12 =0  -->  cos² x=1  -->  cosx = ±1  -->  x=пk

Промежутку [-п/4; п/4] принадлежит только x=0.

y(0) = 0 -0 -3п -6<0

у(п/4) = 12 -12п/4 +3п -6 = 6 -наибольшее значение.

у(-п/4) = -12+12п/4 +3п -6 = -18 +6п <1

y = (x-20)e^x-9

y' = (x-20)'e^x-9 +(x-20)(e^x-9 )'  = e^x-9 +(x-20)e^x-9 =0

y'=e^x-9 (1 + x-20) = 0      e^x >0   x=19 - критическая точка 

y'_____−________•______+___________

y           \              19              /

x_min=19

y_min = (19-20)e^19-20 = -e^-1 = -1/e

y=3^х +5x -1 на отрезке [-5;2]

у' = 4x - 6 +2/x = 0,     4x² -6x +2 = 0,    2x² - 3x +1= 0, 

x1=1  - критическая точка,  x2 =0,5 (не лежит на [6/7;8/7] ).

у(1)=2-6+0+12 = 8

ОДЗ:   х≠ 0

y' = (2x*x -(x²+16)) /x² = 0   -->   х² - 16 =0      х= ±4 - критические точки

у'       +                 -                 -                   +

   _________ -4________0____________4____________

y           /                \                \                    /

              x max = - 4                            x min = 4                Ответ: 4.

Напиши, какая получилась производная, точка экстремума  и значения функции на концах и в точке экстремума.

Напиши, что сама смогла сделать.

Какая получилась производная, точка экстремума  и значения функции на концах и в точке экстремума?  Задание очень простое. Я проверю.

f(x)=1/3*x³-5/2*x²+6x на отрезке [0;3]

На этой странице (выше) много примеров и правило нахождения наибольшего и наим. зн. ф-ии.

Краткое решение (это пункты 7 и 8):

f '(x) =x² -5х +6=0   x1=2, x2=3 - критические точки (точки экстремума).

f(0)= 0 - наименьшее на  [0; 3]

f(2)= 8/3 - 10+12 =4 и 2/3 ≈ 4,67  - наибольшее на [0; 3]

f(3) =9 - 22,5 +18 = 4,5

f(2), f(3) - экстремумы ф-ии.

f '(x) = 1/2 - cosx =0  -->  cosx = 1/2;

x = ±arccos 0,5 +2∏k, k - целое.

x=± ∏/3 +2∏k,  берем значения k=0, k=1, k=2...  k=-1, -2,...

k=0  x1=∏/3,  x2 = -∏/3

k=1   x= 2∏ + ∏/3,   x= 2∏ - ∏/3

. . . .

Выбираем те значения х, которые попадают в указанный промежуток.

Только промежуток у тебя указан неверно.

Левая граница должна быть меньше правой. Ты или минус потерял или коэффициенты не те?

Если касательная в некоторой точке графика функции параллельна оси ОХ, то её тангенс угла наклона (угловой коэффициент) равен 0, отсюда  следует, что производная равна 0 в этой точке.

у ' =0  -->   2/(x+1) = 4;   2=4(x+1); 4x=2-4;  x=-1/2=-0,5.

x=(-1)^k n/6+nk,          k€ Z

Пусть k=2m - четное, тогда x1=п/6+2пm,

k=2m+1 - нечетное, тогда x2= -п/6+2пm+п = 5п/6 + 2пm,   m€Z.

Наносим все точки на числовую ось и определяем знаки производной в интервалах.

y' = 1 - 2sinx      +                      -                       +                      -  

...________|_________|____________|____________|__________|________ ...

            5п/6-2п      /       п/6           \       5п/6         /         п/6+2п         \       5п/6+2п

х1 - точки максимума,

х2 - точки минимума.

y'=12 + 2√x + x/√x = 12 +2√x+  √x;    

у'= 12+ 3√x =0

решений нет, значит,  критических точек нет, т.к.

y'=12+ 3√x>0 при всех  х из области определения.

Значит функция возрастает на области определения, т.е. на [0; +∞).

Функция максимума и минимума не имеет.

Проще брать производную, если представить       2x√x = 2х^3/2

y'=12+ 3√x>0 при всех  х €D.

Значит функция возрастает на области определения, т.е. на [0; +∞).

Функция максимума и минимума не имеет.

у=(x²+2x-5)e^x+4           найти точку максимума.

y'=(2x+2)e^x + (x²+2x-5)e^x = 0

2x+2+x²+2x-5 =0

x² +4x -3 = 0   D=16+12=28 

Значит, что-то с условием (если это тест).  Если не тестовое задание, то вычисли корень

х=-2-√7 - точка  максимума

х=-2+√7   - точка минимума

F(x) - это парабола, нули функции ±3

F(x) = (x² -9)/4

Вершина в точке   (0;-9/4), ветви вверх.

Для построения возьми еще несколько дополнительных точек, например

х     ±1      ±5

у      -2        4

Что означает     "дано значит   y=x³+3x²-9x-27" ?  Тоже график надо строить?

Условие надо писать не своими словами, а точную формулировку.

y'= -2sinx +√3=0

sinx=√3/2 ,   x=п/3

y(0) = 2cos0+0-√3п/3 = 2-√3п/3

y(п/3) = 2*1/2 + √3п/3-√3п/3=1 - наибольшее значение

y(п/2) = 0+√3п/2 -√3п/3= √3п/6

у = 4tgx-4x+п-7

1) у' = 4/cos²x -4 = 0;         1/cos²x = 1;   cos²x=1; 

cosx = ±1; x=пk, kC Z.   На отрезке(-п/4;п/4)   x=0 - критическая точка.

2) y(0)= п - 7

y(п/4) = 4*1- 4п/4 + п-7= 4-7 = -3  - наибольшеен зхначение.

у(-п/4) = -4 -4(-п/4) +п-7 = -11+2п

Сначала надо упростить функцию: у=9ln(x+6)+9x

y'=9* 1/(x+6) +9

y=(1/3)^{-1-x^2} = 3*3^{x^2}  - функция четная.

Построй график для х≥0, затем симметрично отрази относительно оси 0Y

Наименьшее значение у=3 при х=0

g'(x) = (x+6)(x-4) = 0

x=-6,  x=4 - критические точки

y'   +                -                 +

_______|_____________|_______

y     /    -6         \              4      /

xmax = -6  - точка максимума

y= 2Cos x + 1

Решение:

-1 ≤ cosx ≤ 1       /*2

-2 ≤ 2cosx ≤ 2       / прибавим 1   

-1 ≤ 2cosx +1 ≤ 3

E(y) = [-1; 3]

y'=9-8cosx = 0  -->   cosx = 9/8>1   решений нет, т.к. |cosx|≤1 -> критических точек нет.

y(-п/2)  = -9п/2-8+7 =-9п/2 -1

y(0) = 0-0+7 = 7 -наибольшее значение

g(x) = - 1 - 9x - 13x⁵ + 4cosx

Функция убывает при всех х. Производная функции в 0 не обращается.

g' = -9-65x⁴ -4sinx ≠ 0      Очевидно, что ур-ие  4sinx = -9-65x⁴ корней не имеет (достаточно построить график левой и правой частей этого уравнения.

Наименьшее значение левой части  -4, а наибольшее правой части уравнения  -9. Поэтому, ни в какой точке х равенства левой и правой частей уравнения не наступает.

g'(x) <0 при всех х   -->   g(x)  убывает.

у наим=0, наибольшего значения нет.

Если нужны экстремумы, то у_min=0,  y_max=1.

Решать можно так: у≥0 - очевидно

найди y' и приравняй 0. Найдешь точки экстремума. И т.д.

sinx=1/2

х=(-1)^k п/6+пk, где k=0, ±1, ±2 ...

Даем различные значения k и выбираем те х, которые принадлежат указанному промежутку. 

k=0  x=п/6 не принадл.

k=1  x=-п/6+п  не прин.

k=2 ... x>0  - не принадл.

k= -1 x=-п/6 - п = -7п/6 € [-3п/2;  -п]  

промежуток можно записать как [-9п/6;  -6п/6] для удобства

k=-2  x= п/6 - 2п    не принадл.

Т.о. имеем критическую точку в указанном промежутке.

Вычисляем у(-7п/6)=у(-п-п/6) и на концах.

у= 4х/( х² + 16)                   на отрезке [-5; 5]

y' = (4(x² +16)-4x*2x) / (x² +16)² = 0

4x² +64- 8x² = 0;  4x² =64;  x=±4

Осталось вычислить у(5),  y(4), у(-4),  у(-5)  и выбрать наибольшее значение.

1) Не хватает скобок. Непонятно.

2) f(x)=9cos2x-7;    Т₀= 2п/2 = п;    п/Т₀ =п/п=1

3) Y=(3-x)/(x+5)² ;  Y'= (-(x+5)² -2(3-x)(x+5)) / (x+5)⁴

Можно не упрощать, а просто подставить х=-4

Y'(-4) = (-1-2*7)/1 = -15

у'=6х-6=0;  х=1 критическая точка.

Вычисли у(1/7),  y(1),  y(8/7) и выбери большее из чисел.

Если условие у=(1/2)х²+1, то наибольшего значения нет. Это парабола, ветви вверх. хmin=0, ymin=1.

Если условие у=(1/2)^{х^2+1} , то наибольшее значение в точке х=0. у(0)= 1/2.

y - функция четная. Построй график для х≥0, затем зеркально отрази относительно оси у.

получается, что y(-5)=(-5)³+60*(-5)²+15=-410?    -125+1500+15 = 1490

заранее спасибо!

y = log _0,5 (x² + 4)

y' = 2x / ((x² +4)*ln 0,5) = 0   -->  x=0

y'   +               -

_______0_________     x=0 - точка максимума, у(0) = log _0,5 4 = -2

Ответ: -2

у= x²-6x+13      a=1, b=-6, c=13

Графиком функции является парабола, ветви вверх, следо-но имеет точку минимума х_min = -b/(2a) = -(-6)/2 =3

ymin=y(3) = 9-18+13 = 4

Т.к. период 5, то F(-15)=f(-15+3*5)=f(0),  f(18) = f(18-3*5) = f(3)

К аргументу можем прибавлять или отнимать 5*n,  n-целое, а 5 - период.

f(0)=1+2*0+0 = 1

f(3) = 1+6+9=16

2f(-15) + 3f(18) = 2f(0) + 3f(3) = 2+48 = 50

y' = 14 - 7/cos²x = 0      cos² x = 1/2     cosx = ±√2 /2

На заданный промежуток [- π/3; п/3] попадают точки ±п/4

Нужно вычислить

y(п/3), y(-п/3), у(п/4) и у(-п/4) и выбрать наибольшее значение.

у'=-3x² +12 = 0;    x² =4; x=2(не принадлежит [-3;0]),   x=-2

y(-3)=-(-3)³ +12(-3)+1 = 28-36 = -8

y(-2) = -(-2)³ -24+1 = 9-24= -15 - наименьшее

y(0) = 0+0+1 = 1  - наибольшее

у=ln(x+3)² -2x = 2 ln|x+3| - 2x = 2ln(x+3) - 2x,  x c [-2,5; 0]     

y' = 2/(x+3) - 2 = 0;    2/(x+3) = 2;  x+3=1;  x= -2 - критическая точка

y(-2,5) = 2ln 0,5 +5

y(-2) = 2ln 1 + 4 = 4 - наибольшее значение

y(0) = 2ln 3

{5-x>0                 {     x<5        {x<5

{lg(5-x)≥0             { 5-x≥10⁰     { x≤4  - ответ

y1=cos2x отличается от y2=cosx периодом. У первой функции период в 2 раза меньше (Т=2п/2 = п),  т.е. пружинка сжата в 2 раза. На множество значений эта двойка не влияет. Можно заменить 2х на t и решать.

-2≤ 2cost ≤2   Затем прибавим 3

1≤ 2cost +3 ≤ 5

Ответ: [1; 5]

Это график функции у=x/(x² -4)

x=2 и х=-2 - вертикальные асимптоты.

y=sin5x-7x,    xο=0

y' = 5cos5x - 7;  y'(0)  = 5cos0 - 7 = 5-7=2